假设我有半正定矩阵$A$和$C$，是否有一种有效的方法可以让 X 的最高奇异值输入以下表达式？

$$AX+XA=C$$

我的矩阵是 4k×4k 并且已知是低等级的，排名在 50 到 1000 之间。

我一直在使用 SVD scipy.linalg.svd(scipy.linalg.solve_lyapunov(A, C))，但它对我的应用程序来说太慢了。

第二个问题是稳定性问题。使用 scipy.linalg 解决$AX+XA=2A$给我解决方案，其范数远高于我预期的 1$I=X$是一个有效的解决方案。由于我对频谱感兴趣，我可能需要一些额外的约束来明确定义这个问题。此外，似乎引入了重大错误（将 X 代入方程并查看范数会给我 2 左右的相对误差）

https://colab.research.google.com/drive/113XQ88puFNNSQHPnO-zoAgm-8w01ANuh#scrollTo=n6OQHQ5jYw53

背景

这些奇异值出现在确定线性最小二乘估计步长长度的问题中，如下所述：https ://arxiv.org/abs/1610.03774

假设我们正在解决线性最小二乘问题$d$通过最小化以下目标来实现维度：

$$L(w) = \frac{1}{2}E_{xy}[y-\langle w, x\rangle^2]$$ 残差定义为 $$\epsilon_{x,y}=y-\langle w, x\rangle$$

这种损失的Hessian是

$$H=E[xx']$$

而梯度的协方差矩阵

$$\Sigma = E[\epsilon_{xy} xx']$$

问题是使用随机梯度下降来最小化这种损失。我们可以使步长多大？我们可以证明，当误差与观察结果不相关时，可以采用以下步长，同时仍保持收敛

$$\gamma = \frac{2}{R^2}$$

在哪里$R^2$是上界$\|x\|^2$

但是，当错误相关时（异方差/错误指定的情况），该比率必须降低到以下

$$\gamma = \frac{2}{\rho R^2}$$

在哪里$1\le \rho\le d$是错误规范的度量，计算如下

让$X$是以下的解决方案

$$HX+XH=\Sigma$$

然后

$$\rho=d \frac{\|X\|_2}{\text{tr}(X)}$$

数据生成过程的特殊性（这些是神经网络生成的特征）意味着$x$位于未知的低维子空间中$\mathbb{R}^d$.$d\in[4000,10000]$, 但真正的维度是 50-1000

任务是：

1. 计算$\rho$有效地获得用于 SGD 的步长
2. 计算全谱$X$有效地用于可视化目的