使用插值得出连续（密集）解的误差估计称为残差控制。当 Runge-Kutta 方法用于延迟微分方程时，这种情况非常频繁。不过，除了随机取分之外，还有更聪明的方法。您可以在此处看到一些讨论，其中使用插值的属性通过几个点来完成估计最大残差的方法。

在这些中间点计算误差是否昂贵？

快速浏览¹，每个插值需要 11 个向量运算（标量乘法或向量加法）。作为比较，一个 Dormand-Prince 步骤（没有评估右侧）需要 45 个向量操作¹。在许多应用中，这两者都可以忽略不计，因为微分方程右侧的 7 次评估比这更昂贵。即使不是，插值也相对便宜。

^{¹即使我对此有误，至少数量级应该是正确的。}

这些中间点是否存在可接受的误差，值得执行此过程，或者高误差是否会使插值在整个区间内无用？

对于高于 3 阶的显式 Runge-Kutta 方法（例如 Dormand-Prince 方法），插值误差不可避免地比积分误差具有更高的阶数。（这就是为什么在需要插值的情况下，例如积分 DDE，通常首选像 Bogacki-Shampine 这样的三阶对。）

但是，即使您的积分错误与您的积分错误具有相同的相对大小，您的建议还有另一个问题，即您没有获得任何收益。例如，假设您在整个步骤中所犯的相对误差是$ρ$你的中间点是$t+\tfrac{1}{2}h$，即正好在步骤的中间。那么你的插值步骤的相对误差是$\tfrac{ρ}{2}$. 如果您现在对该错误执行两个步骤，则作为一阶近似值，您将再次得到一个错误$ρ$，所以你一无所获。现在，当然，你可以用更小的$h$，但是您的第一个插值步骤仍然比相应的调整步骤具有更高的错误。