计算科学 - 特征值问题的适当迭代线性求解器 - 吾爱随笔录

我正在尝试解决广义特征值问题

A x = λ B x, A = A^{⊤} > 0, B = B^{⊤} > 0

$Ax = \lambda Bx, \quad A = A^\top > 0,\; B = B^\top > 0$

与使用瑞利商迭代（RQI）（RQI 应用于，但从最终取消公式): }决定使用一些迭代方法来解决 for，因为我不想明确和我只想编写计算和产品的代码。 $\lambda \approx \sigma$ $B^{-1/2}AB^{-1/2}$ $B^{-1/2}$

(A - μ_{k} B) {\tilde{x}}_{k + 1} = B x_{k} x_{k + 1} = \frac{{\tilde{x}}_{k + 1}}{| | {\tilde{x}}_{k + 1} | |} μ_{k} = \frac{x_{m}^{⊤} A x_{m}}{x_{m}^{⊤} B x_{m}} μ_{0} = σ, x_{0} = random vector

$(A - \mu_k B) \tilde x_{k+1} = B x_k\\ x_{k+1} = \frac{\tilde x_{k+1}}{||\tilde x_{k+1}||}\\ \mu_k = \frac{x_m^\top A x_m}{x_m^\top B x_m}\\ \mu_0 = \sigma, \quad x_0 = \text{random vector}$

(A - μ_{k} B) {\tilde{x}}_{k + 1} = B x_{k}

$(A - \mu_k B) \tilde x_{k+1} = B x_k$

{\tilde{x}}_{k + 1}

$\tilde x_{k+1}$

A

$A$

B

$B$

A x

$Ax$

B x

$Bx$

矩阵是对称的，但不是正定的，否则我会使用共轭梯度法。你会建议哪种方法？将 Krylov 子空间方法与 RQI 一起使用时是否有任何陷阱？