我正在对非对称矩阵使用多重网格预处理 GMRES 方法。矩阵是非线性算子的导数的离散化。由于多重网格不是非对称问题的最佳解决方案，因此我对矩阵的“对称部分”进行了预处理，其中我将矩阵的对称部分设为，其中是的转置。$A$$(A + A^{\text{T}})/2$$A^{\text{T}}$$A$

我的问题是我得到的矩阵的“对称部分”不是正定的。我想知道是否有一种方法可以获得矩阵的对称正定部分，这只是对原始矩阵的一些操作，即

$\tilde{A} = F(A)$

对于一些函数$F$$A$

编辑：从下面的评论和答案中，我意识到我没有包含我的问题所需的大部分重要信息，所以这里有一些补充信息。我正在使用标准的几何多重网格实现，带有逐点 Jacobi / Gauss-Seidel 平滑器。我知道使用针对我正在处理的特定算子量身定制的平滑算子会产生更好的结果，但我正在评估标准线性几何多重网格实现对我感兴趣的一些问题的有效性。因此，我理想情况下希望将多重网格迭代应用于对称正定矩阵。我有关于线性算子的信息，我可以使用它来获得一个矩阵来进行前提条件，该矩阵是对称正定的并且“接近”我有兴趣反转的矩阵，效果很好。不过，我特别感兴趣的是知道是否有一些“黑匣子”函数可以为预处理提供一个对称的正定矩阵，这对于给定矩阵来说是“好”的，而无需知道给定矩阵的位置来自