计算科学 - 推广一个特征系统的额外成本是多少？ - 吾爱随笔录

问题

假设我可以将模型编写为 Hermitian eigensystem：

A x = λ x

$A x = \lambda x$ 在哪里

A \in C^{n \times n}

$A \in \mathbb{C}^{n\times n}$ 是 Hermitian，或作为广义 Hermitian 特征系统：

\tilde{A} \tilde{x} = λ \tilde{B} \tilde{x}

$\tilde A \tilde x = \lambda \tilde B \tilde x$ 在哪里

\tilde{A}, \tilde{B} \in C^{\tilde{n} \times \tilde{n}}

$\tilde A, \tilde B \in \mathbb{C}^{\tilde n \times \tilde n}$ 是厄米特和

\tilde{B}

$\tilde B$ 是肯定的。必须小多少

\tilde{n}

$\tilde n$ 比

n

$n$ 使广义模型更有效？

我知道还有许多其他因素会影响答案。一般的直觉是最好的，但是，如果增加的复杂性是不可避免的，假设：

串行求解器
直接求解器
$A,\tilde A, \tilde B$ 是密集的
这 $m$ 需要具有最低特征值的特征对，其中 $n / m \approx 10$
$A$ 和 $\tilde A, \tilde B$ 对同一系统建模，因此在 $m$ 特征对很小
$\tilde B = I + \hat{B}$ 在哪里 $\text{rank}(\hat{B}) = p$ ，和 $p \approx 2 m = n/5$

不同资格的答案也可能对其他读者有用。