对于时间上的后向 Euler 离散化：

$$\left( \frac{u^{(k)}-u^{(k-1)}}{\Delta t}, v\right) + a(u^{(k)},v) = \ell(v)$$

在哪里$a(\cdot,\cdot)$是与空间离散化相关的双线性算子。我正在考虑二维线性椭圆问题。所以我重新排列了上面的等式：

$$\left(\frac{1}{\Delta t}u^{(k)},v\right) + a(u^{(k)},v) = \ell(v) + \left(\frac{1}{\Delta t}u^{(k-1)},v\right)$$ 自从$u^{(k-1)}$是上一个时间步的已知量。对于非时间相关问题，空间收敛性通常为$\mathcal{O}(h^{p+1})$， 和$p$作为基础学位。现在，如果我有上面给出的时间相关问题，我的时间步长必须有多小才能测试空间收敛性？如果我采取较大的时间步长，该方法是稳定的，但会产生很大的误差，大约为$10^{3}$.

将我的时间步长设为极小会产生适当的收敛速度，但我认为这并不能告诉我任何事情，因为对于小$\Delta t$，时间相关项将占主导地位，我基本上是在解决

$$\left(\frac{1}{\Delta t}u^{(k)},v\right) = \left(\frac{1}{\Delta t}u^{(k-1)},v\right)$$ 如果时间步长很小，我们很可能会期望$u^{(k)} \approx u^{(k-1)}$，因此求解系统将产生“正确的解决方案”。

我只是想知道我的 Backwards euler 的实现错误是否不正确。我知道通常我们解决线性系统：

$$(\mathbf{M} + \Delta t\mathbf{K})u^{(k)} = \mathbf{M}u^{(k-1)} + \Delta t\mathbf{f}$$

和$\mathbf{M}$和$\mathbf{K}$是质量和刚度矩阵和$\mathbf{f}$作为源项。但是我上面给出的实现不正确吗？我最初实现了我列出的第一种方式，然后尝试了第二种方式进行比较，但它们在两种情况下都产生了相同的结果，所以我猜这不是问题所在。