我最近编写了一个代码，该代码使用时间和空间的高阶方法解决了 Navier-Stokes 方程的不可压缩/低马赫数公式。我的导师坚持让我使用三阶龙格-库塔法。但是，我发现它不适合我们当前的问题。
在不可压缩求解器中，必须求解压力的泊松方程，这非常耗费 CPU 时间并且通常是此类求解器的瓶颈（对于低马赫数问题，燃烧也可能是瓶颈）。当使用 RK 方法时，必须在每个 RK 步求解泊松方程，这不是有效的。因此，我认为使用标准的顺序向后差分方法可能更适合我们的情况。
据我所知，Runge-Kutta 方法的主要优点是它们实现起来相对简单、自启动且非常稳定。就我而言，只有最后一个是重要的。
我不知道的 RK 方法还有其他优点吗？顺序向后差分方法，我会失去很多准确性/稳定性吗？此外，正如本文所述，我已经证明空间离散化错误可能是我的模拟人生中的主要错误，因此决定了我的代码的全局准确性。
本次讨论的关键问题是显式与隐式 ODE 求解器。传统的 Runge-Kutta (RK) 方法是显式的，因此时间步长必须足够小才能满足稳定性要求。后向差分方法 (BDF) 是隐式的，因此可以简单地根据准确解的需要来选择时间步长；通常比显式方法大得多。我认为这基本上是您关于 RK 与 BDF 的问题的重点。
不可压缩的 Navier-Stokes (NS) 方程对这两类方法都提出了非常有趣的挑战。这在许多关于计算流体动力学的书籍中都有讨论。我发现这个特别的调查Langtangen是对这个主题的一个特别好的介绍。
具体来说，对于低雷诺数流，粘性项很重要，这使得隐式方法很有吸引力，因为这些项在显式求解器中规定了非常小的时间步长。
但是，对流项可以与显式求解器和更大的时间步长集成。此外，这些项是非线性的，这使得隐式求解器更具吸引力，因为必须在每个时间步求解一组非线性代数方程。该系统包括所有速度自由度，因此计算成本可能很高。
因此，正如在参考论文中所讨论的，不可压缩 NS 方程的最新算法通常在效果最好的地方使用显式求解器 - 集成对流项 - 并在效果最好的地方使用隐式求解器 -整合粘性项。
通常我会建议离散空间中的方程，然后使用现成的 ODE 求解器。但由于大多数标准 ODE 求解器仅实现显式或隐式算法，因此使用其中一种算法并不是解决此问题的最佳方法。
出于教学目的，Benjamin Seibold 基于这些原理编写了一个 NS 求解器，Seibold使用了 100 多行 MATLAB 代码！值得花时间研究和试验它。
如果您将问题离散化为 ODE，那么您不必担心这一点，因为您可能无论如何都不应该编写 ODE 求解器。此时，将离散化 ODE 插入您的编程语言中可用的任何求解器并交换，尝试 BDF 方法或 Runge-Kutta 方法，看看哪个更快。你不会通过编写一个特殊用途的方法来打败它，并且使用 ODE 包将有很多已经内置的东西（比如自适应时间步长），这对于解决问题非常有帮助。