计算科学 - 我们如何用有限差分法和 Newton-Raphson 法求解耦合 PDE？ - 吾爱随笔录

我们如何用有限差分法和 Newton-Raphson 法求解耦合 PDE？

计算科学有限差分非线性方程耦合

2021-12-25 17:33:37

我正在尝试通过 Crank-Nicolson (CN) 和 Newton-Raphson 方法与 MATLAB 解决耦合 PDE。我使用了 CN 方法，但不适用于耦合问题。请如果有人可以帮助让我知道添加有关方程式的更多详细信息。

提前致谢

耦合方程的细节：

我要解决 Poisson-Nernst-Planck 方程组。能斯特-普朗克方程是

\frac{\partial n_{i}}{\partial t} = A_{i} \frac{\partial^{2} n_{i}}{\partial x^{2}} + B_{i} \frac{\partial n_{i}}{\partial x} \frac{\partial ϕ}{\partial x} + B_{i} (n_{i} \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}}),

$\frac{\partial n_i}{\partial t}=A_i\frac{\partial^2 n_i}{\partial x^2}+B_i\frac{\partial n_i}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x}+B_i(n_i\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}),$ 在哪里

n_{i}

$n_i$ 是特定离子的浓度，

A_{i}

$A_i$ 和

B_{i}

$B_i$ 是特定离子的方程系数，

ϕ

$\phi$ 是电势。由前一个方程耦合的泊松方程是

ϵ \frac{\partial^{2} ϕ}{\partial x^{2}} = F \sum (n_{i} * z_{i}),

$\epsilon \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}=F\sum(n_i*z_i),$ 在哪里

ϵ

$\epsilon$ 是介质的介电常数，

F

$F$ 是法拉第常数，

n_{i}

$n_i$ 是特定离子的浓度和

z_{i}

$z_i$ 是离子电荷。那么我如何将泊松方程实现为 Nernst-Planck，然后实现 Newton-Raphson 方法对其进行线性化。还是我们需要 Newton-Raphson 方法来求解这个方程？或者我们可以通过CN方法解决它。如果有人需要更多详细信息或不清楚的地方，请告诉我。

1个回答

正如 Matt Knepley 所提到的，这很自然地被表述为偏微分代数方程组。因为你在Matlab，你可以考虑自己做空间离散化（例如有限差分，有限体积，有限元）得到一个DAE的系统，然后用线的方法及时向前。您可以在空间中以相同的方式离散 Nernst-Planck 和 Poisson 方程。这应该给出一个方程列表，如

\frac{\partial n_{i, x_{j}}}{\partial t} = f ({n_{i, x_{j}}}, {ϕ_{x_{j}}})

$\frac{\partial n_{i,x_j}}{\partial t} = f(\{n_{i,x_j}\}, \{\phi_{x_j}\})$

0 = g ({n_{i, x_{j}}}, {ϕ_{x_{j}}})

$0 = g(\{n_{i,x_j}\}, \{\phi_{x_j}\})$

在哪里 $x_j$ 指变量在特定离散化时的值 $x$ 坐标和功能 $f$ 和 $g$ 取决于您的空间离散化，并且对于每个空间位置都会有所不同。如果你有 $N$ 物种，你应该有 $N$ 每个网格点的第一个方程和第二个方程中的一个，导致相同数量的未知数和方程（我不知道你的边界条件，所以你可以把它们当作额外的方程，用代数方式将它们替换为离散的边缘的方程等）。

如果您要使用 CN 时间步长，这自然会导致您必须在每个时间步长求解的非线性方程组，您可以使用 Newton-Raphson 方法进行求解。但是，除非您特别设置 CN 时间步进，否则我建议您考虑使用 Matlab ode15s（参见文档），它在时间步进通过耦合的非线性（索引 1）DAE 时相当不错，比如这个。它使用可变顺序、可变大小步进，并且我发现它适用于耦合的 Nernst-Planck 样式方程。要将中的微分方程和代数方程耦合ode15s，您需要将（奇异）质量矩阵传递给ode15s. 它将为您处理 Newton-Raphson 迭代，您可以让它以数值方式估计雅可比行列式，也可以提供一个提供解析雅可比行列式的函数。

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