如果您正在为包含变压器（或耦合电感器）的电路编写网格方程，则使用互感会导致包含其中一个电感器的分支上的电位差的简单公式。

例如，如果\$V_1\$是电感 L1 形成的支路上的电压，而\$V_2\$是 L2 上的电压，两个电感之间的互感为 \$M\$，则

$$V_1 = L_1\frac{dI_1}{dt}-M\frac{dI_2}{dt}$$ 和 $$V_2 = L_2\frac{dI_2}{dt}-M\frac{dI_1}{dt}$ $

或者，在频域 $$v_1 = j\omega L_1 i_1 - j\omega M i_2$$ 和 $$v_2 = j\omega L_2 i_2 - j\omega M i_1.$$

当然，如果您替换\$M=k\sqrt{L_1L_2}\$，则不会丢失任何信息，但是如果将其浓缩为一项而不是要计算平方根的三项，则该等式具有更简单的形式。

此外，我通过谷歌搜索找到的前三页或四页（这是问题的一部分，对吗？）都先定义\$M\$，然后根据 \$M\$ 定义\ $k\ $。大概这是用户4574的答案中概述的术语开发的历史方式。所以定义互感的一个好处是给你一些东西来定义耦合因子\$k\$ ，如果你更喜欢用\$ k\$来制定你的方程。

我从来没有发现 M 有用，也不明白为什么它看起来如此突出。

M 享有如此盛名的一个原因是因为它是麦克斯韦关于电动力学的原始出版物的一部分。据我所知，M 在文献中的第一个已知出现是在麦克斯韦 1865 年的出版物“电磁场的动力学理论”（参见第 468 页）中。

仅在计算两个耦合电感器的净电感时使用吗？

Maxwell 在他的出版物中非常清楚地阐述了这一点（尽管他的术语有点过时）。

对于两个电路（电感器）A和B。属于A的电磁动量是...

L*x + M * y

属于B的电磁动量是...

M*x + N * y

A中电流x的方程是...

v = R * x + d/dt(L * x + M * y)

B中电流y的方程是...

n = S * y + d/dt(M * x + N * y)

其中 v 和 n 是电动势（电压），x 和 y 是电流，R 和 S 分别是 A 和 B 中的电阻。

该等式的含义是一个电感器上的电压由三个分量组成。

1. 一个 I *R 电阻部分。
2. 一个电感 * di/dt 来自自身
3. 来自另一个电感器中的电流的互感 * di/dt。

所以基本上互感的一点是，如果我改变一个电感器中的电流，那么它会在另一个电感器中产生电压，该电压与 M 和电流变化率成正比。这当然是变压器的基础。

另请注意，电感通常与匝数的平方成正比，这就是 M 与每个绕组的电感的平方根成正比的原因。

M 在变压器或耦合电感器中可能并不重要。

如果有人能提出一个 EE 示例，其中 M 显然比更实用的变量更有优势，那就太好了。

1. 这是一个 M 可能有用的例子。

考虑在无线充电应用中将两个多匝空芯线圈放置在一定距离处的示例。如果您需要将无线充电线圈设计为具有所需的性能/特性，则需要计算 M 并且它变得有用。（图片来源：1和2）

假设两个线圈之间的间隙在 4cm - 6cm 之间变化，线圈的最大直径应小于 10 cm。设计目标是优化线圈参数，如直径、匝数、匝间距等，以在给定输出功率下实现最佳功率传输效率。（公式图片来源。）

现在输出功率和效率为：

您需要首先使用椭圆积分计算互感，例如：（公式图像源。）

通过 M 的计算（当然还有计算线圈电阻的已知方法），您可以实现一个完整的优化问题，作为线圈几何参数和距离的函数。

在此示例中，您不能直接使用耦合系数，因为耦合值以非线性方式取决于距离和线圈参数。

2. M的含义

虽然我们写成\$M=k \sqrt{L_1 L_2}\$，其实基本物理量是\$M\$因为：（图片来源）

\$k\$是用于了解耦合百分比的派生系数。至少在上面的例子中，表达\$k=M/ \sqrt{L_1 L_2}\$会更合适。

互感的数字（或任何）含义究竟是什么

因此，100% 耦合的 9 μH 和 4 μH 电感器的互感为 6 μH。但是 6 μH 代表什么？

那么，M（互感）是否具有数字（或任何其他）有用的含义？

众所周知，对于双电感系统，每个线圈中的总电压为：

\$v_1(t) = L_1 i_1'(t) \pm M i_2'(t) \tag 1\$

\$v_2(t) = L_2 i_2'(t) \pm M i_1'(t) \tag 2\$

让我们假设一个线圈保持开路，同时我们向另一个线圈施加时变电流。然后，单独地，前面的方程简化为：

\$v_1(t) = \pm M i_2'(t) \tag 3\$

\$v_2(t) = \pm M i_1'(t) \tag 4\$

正负号表示由互感感应的电压（即在一个线圈上由于另一个线圈）取决于两个绕组的相对空间方向，即它取决于点的位置。当然，它还取决于两个电流的参考方向和两个电压的参考极性。

现在假设一个线圈中电流的变化率为每秒 1 安培。然后，忽略单位，前面的方程分别简化为：

\$v_1(t) = \pm M \tag 5\$

\$v_2(t) = \pm M \tag 6\$

从上面的两个等式 (5) 和 (6)，得出的结论是：当我们（线性，即以恒定速率）改变电流时，两个电感器之间的互感告诉您在一个开路线圈中感应的电压在一秒钟内在另一个线圈中增加一安培。当然，如果电流的这种变化不是一安培，通常情况下，那么我们必须使用 eqs。(3) 和 (4)。

因此，对于您问题的双电感系统，请使用 eqs。(5) 和 (6)，\ $M\$ = 6 μH 意味着当我们在 1 秒内将另一个线圈中的电流线性改变 1 安培时（甚至如果耦合系数不是 100% 作为你的例子）。更一般地（方程（3）和（4）），\$M\$ = 6 μH 意味着，当我们在 1 秒内将一个线圈中的电流线性改变\$\Delta I\$安培时，\$6 \cdot \Delta I\$伏特在另一个（开路）线圈中感应。

例如，考虑以下电路，其中\$L_1\$ = 7 H，\$L_2\$ = 4 H 和\$M\$ = 3 H。（我知道这些数字很大，但事实并非如此请注意，从\$t_1\$ = 1 s 到\$t_2\$ = 2 s（因此时间变化是\$\Delta t\$ = 1 s），\$中的电流L_1\$从\$I_1\$ = 0.5 A 变为\$I_2\$ = 1 A，因此电流的变化是\$\Delta I\$ = +0.5 A，因此在\$L_2\中感应的电压$是\$M \cdot \Delta I = 3 \cdot 0.5 = 1.5\$伏特。

图 1. 图片来源：自己的。

[...] 而且，它有用吗

它允许我们使用电路方程（仅涉及电流和电压的方程，它们是标量变量的标量函数）而不是直接使用麦克斯韦方程（涉及电场和磁场的方程，它们是矢量和标量变量的矢量函数，更难来解决）。

请注意，许多电路分析教科书（Sadiku、Dorf、Hayt、Irwin、Nilsson、Thomas、Van Valkenburg...）从定义互感开始，然后通过将耦合系数定义为以henrys（互感和自感的几何平均值，其中三个电感可以从麦克斯韦方程导出）。这有点类似于如何将功率因数定义为以瓦特为单位测量的两个量的比率（有功功率和视在功率，两者都是独立定义的）。（是的，我知道视在功率以伏安为单位测量，但这与瓦特完全相同；我们使用 VA 表示视在功率，以免将其与有功功率混淆。）

正如您在答案的第 3 部分中所示，我们可以根据互感和自感来制定电路方程，或者根据耦合系数（取决于互感和自感）和匝数比（取决于自感）。无论哪种方式都同样有用，因为它们允许我们仍然只使用电路变量（电压和电流）。

也许一种方法（使用\$k\$和\$N\$ ）比另一种（使用\$M\$和\$L_1\$和\$L_2\$ ，如您所展示的）更实用，因为它产生更短的方程，但这并没有降低后者的用处。就此而言，我们可以替换\$k = M/\sqrt{L_1 L_2}\$和\$N = \sqrt{L_2/L_1}\$，看看我们的方程仍然依赖于\$M\$ , \$L_1\$和\$L_2\$。

这是我看待这个问题的另一种方式。如果我们改变一个线圈中的电流，我们会发现在另一个开路线圈中感应出一个电压，换句话说，感应电压与电流的变化率成正比：\$v_2(t) \propto i_1 '(t)\$。互感让我们可以将这个比例写成一个方程：\$v_2(t) = M i_1'(t)\$。我想说这类似于 Georg Ohm 如何发现，在某些设备中，在某些情况下，设备两端的电压与通过设备的电流成正比（\$v(t) \propto i(t)\$ ); 然后他引入（静态/直流）电阻作为比例常数，让我们可以将比例写成方程：\$v(t) = R i(t)\$. 因此，互感使我们能够将变化的电流与感应电压联系起来，这就是它有用的原因。

代表（某事）

定性地（仅用文字表示，没有数字），两个线圈之间的互感是一个电感器在另一个电感器上感应电压的能力，反之亦然。

为了定量的解释，我再重复一遍：当我们在一秒钟内将另一个线圈中的电流线性改变一安培时，两个电感器之间的互感告诉你在一个开路线圈中感应的电压。

上述对互感的解释类似于自感。定性地，线圈的自感是线圈中随时间变化的电流在线圈两端感应电压的能力。从数量上讲，当我们在一秒钟内将线圈中的电流线性改变一安培时，线圈的自感会告诉您线圈中感应的电压。

还是重要的？

\$M\$（和\$L_1\$和\$L_2\$）与\$k\$（和\$N\$）对于设置电路方程同样重要。您可以使用其中一种。

它是否代表了对我们很重要的东西？

对你来说什么是重要的？你认为阻力重要吗？因为我们可以用电导\$G\$而不是电阻\$R\$来写电路方程，就像我们可以用\$k\$而不是\$M\$来写电路方程一样。

在计算两个耦合电感器的净电感时，它是否仅用于（某些）用途？

据我所知，计算净电感的唯一目的是简化串联或并联的电感。但是我们可以使用\$M\$，即使电感器既不是串联也不是并联，如下面的电路所示。

图 2. 图片来源：自己的。

第 2 部分 - 您不需要使用 M（耦合小于 100%）

你说过使用\$k\$比\$M\$更简单。您真的认为执行您在答案的第 2 部分中显示的过程比仅使用\$M\$更简单吗？在您的程序（如图所示）中，您必须 1）操纵自感和互感；2）将新耦合电感的电感转换为匝数；3) 组合转弯；4) 将等效匝数转换为等效电感。您不认为使用\$M\$更容易吗，因为您不需要进行任何转换或操作？

此外，即使您认为第 2 部分的方法更简单，我认为您也不能将其应用于不支持或反对串联或并联连接的电感器，例如本答案图 2 中的电感器。

编辑

这是一些人（比如我）看待\$M\$ -vs- \$k\$争议的另一种方式。

众所周知，（静态/直流）电阻定义为比率\$R = V_{ab}/I\$。我们可以使用电磁理论根据导体材料（使用电阻率\$\rho\$或电导率\$\sigma\$）和导体的几何形状（使用长度\ $L\$ , 表面积\$S\$等）例如，如果我们要计算圆柱形导体的电阻，并且假设导体具有均匀电场\$\mathbf E\$和均匀电流密度\$\mathbf J\$，则我们可以找到电阻如下。电压为：

\$\begin{align} V_{ab} &= \displaystyle\int_a^b {\mathbf E} \cdot {\mathrm d} {\mathrm l} \\ &= \displaystyle\int_a^b E {\mathrm d} l \cos{(\theta)} && \text{展开点积} \\ &= \displaystyle\int_a^b E {\mathrm d} l && \text{电场平行于长度向量} \\ &= E \displaystyle\int_a^b {\mathrm d} l && \text{电场与长度无关} \\ &= EL && \text{积分差分长度} \end{align}\$

当前是：

\$\begin{align} I &= \int_S {\mathbf J} \cdot {\mathrm d} {\mathbf S} \\ &= \int_S J {\mathrm d} S \cos{(\theta)} && \text{展开点积} \\ &= \int_S J {\mathrm d} S && \text{电流密度平行于表面向量} \\ &= J \int_S {\mathrm d} S && \text{电流密度与面积无关} \\ &= JS && \text{积分微分表面} \end{align}\$

并将电流和电压的前两个结果代入\$R = V_{ab}/I\$，我们得到：

\$\begin{align} R &= \dfrac{EL}{JS} \\ &= \dfrac{EL}{(\sigma E) S} && \text{替换 $J = \sigma E$} \\ &= \dfrac{L}{\sigma S} && \text{simplify} \\ &= \dfrac{\rho L}{S} && \text{替换 $\sigma = 1/\rho$，如果需要} \end{对齐}\$

这是一个众所周知的公式。（示例结束。）

对于电容，我们将两个分离的导体/板之间的电容定义为存储在任一导体上的电荷与两个导体上的电压或电位差的比率（\$C = Q/V_{ab}\$）；那么我们可以使用高斯定律和电压方程\$V_{ab} = \int_a^b {\mathbf E} \cdot {\mathrm d} {\mathrm l}\$来表示电介质中的电容仅及其几何形状；这样我们就得到了平行板电容器的公式，例如\$C = \epsilon S/d\$。

对于自感，我们将导体的自感定义为总磁链与它们连接的电流的比率（\$L = \lambda/I\$）；那么我们可以使用安培定律和磁通量方程\$\Phi = \int_S {\mathbf B} \cdot {\mathrm d} {\mathrm S}\$来仅用材料及其几何形状来表示电感; 这样我们就得到了环形电感的公式，例如\$L = \mu_0 N^2 S/(2 \pi R)\$。

通过这种方式，我们可以找到导体的电阻、电容和电感。这就是输电线路的做法（例如阅读 Glover & Sarma [第 4 章] 或 Grainger & Steveson [第 4 章和第 5 章] 关于电力系统分析的教科书）。

与上述特性（电阻、电容、电感）类似，互感可以从电磁理论方程推导出来，所以我们为什么说它是“基本特性”。另一方面，我们将耦合系数\$k\$简单地视为根据基本属性定义的无量纲因子，特别是互感与自感几何平均值的比率。

尽管计算\$R\$、\$C\$、\$L\$和\$M\$涉及电磁理论/麦克斯韦方程组，但这些常数在电路分析中被认为是给定的/已知的，因此我们不不必再次使用麦克斯韦方程组。

在电路方程中仅使用\$k\$（和\$N\$ ）没有任何问题。如果你找到方法总是用\$k\$而不用\$M\$来表达电路方程，那很好，无论结果表达式是短还是长。简单地说，我和其他人认为\$k\$是从\$M\$派生的数量，所以说\$M\$没用就像说\$k\$也是没用的（这显然是不对）。