这个问题最初是在 SO 上发布的，但有人建议我在这里发布。
我正在开发一个程序，其中我有一个带状矩阵M和一个向量b，我想保持一个近似解向量x使得Mx ≃ b。是否有一种快速的算法或建模方法，以便我可以更改M的各个元素并相应地更新x，而无需进行完整的矩阵求逆？
我正在考虑的一件事是保持M的近似逆，将Sherman Morrison 算法与这样的快速近似矩阵乘法算法结合使用。
更新线性系统的近似解以响应微小的变化
计算科学
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近似
2021-12-11 17:53:09
1个回答
为可能是评论-答案混合的内容道歉（并且评论可能太长而无法放入评论框中）。
您在问题中说的一件事是您想要一个近似解向量。您是否考虑过迭代方法？那里的近似倒数可以用作与某些迭代方法（GMRES、BiCGStab 等）一起使用的预处理器，以保持近似解向量，然后可以将一个线性系统的近似解用作扰动线性系统解的初始猜测.
要更新预处理器以响应单元素（或低秩）扰动，您可以使用 Sherman-Morrison(-Woodbury)。根据扰动，即使没有更新，近似逆可能仍然是有效的预处理器。
我不知道近似矩阵乘法可能会降低迭代线性系统的解的速度。我猜想形成前置条件会更宽容，因为这可能是近似的。在形成预处理器之后，我会坚持使用标准矩阵向量产品来进行求解器迭代（对于 GMRES 迭代，或您考虑使用的任何迭代方法）。
当然，这整个讨论可能没有实际意义，具体取决于. 如果它足够小，那么每次都值得解决；我认为它相对较大，否则我们将不会进行此讨论。