我正在尝试使用有限体积法解决离子扩散问题的 Poisson-Nernst-Planck 方程组。质量传输的能斯特-普朗克方程和静电荷分布的泊松方程。
我的 jacobian 稀疏且病态（条件编号 ~ 1E+14）。对于 4 个离子和三个控制体积的系统，雅可比示意图如下所示：
我使用 Newton-Raphson 方法来解决它。时间步长不超过 1E-7 秒，最终它不会收敛并崩溃。同时，当我暂停运行并检查结果时，它们不正确。
我发现的一种解决方案是假设为）。在这种情况下，条件数变为 ~1E+12，尽管在 ~2000 个时间步之后条件数会跳转到 1E+30。但是代码的时间步长更大（最多 1E-3 秒），结果似乎正确但不是很精确。我需要加快代码速度，因为这个时间步不切实际。
非常感谢
在过去的几个月里，我一直在研究类似的问题。假设均匀的稳态离子浓度，我暂时只求解稳态电位方程。
缩放你的方程将是一个基本的预处理器。我发现我使用代数多重网格 (AMG) 进行预处理得到了很好的结果，因为我的问题简化为耦合反应扩散方程（即，具有非线性源项的泊松问题）。您可以尝试不完整的 LU (ILU) 来启动，因为它是一个强大的、较慢的预调节器，如果可行，请尝试其他预调节器，如 AMG。
使用直接求解器可能会有所帮助，但这实际上取决于问题的大小。即使是稀疏的 LU 分解也会因为填充足够大的问题而耗尽可用内存（该点发生在 100,000-1,000,000 个变量附近的某个地方）。如果您的雅可比矩阵是秩不足的（正如我的问题中的情况，由于某些单元中的非导电填充材料），那么直接方法也会有问题。
非线性求解器的单个更高质量的猜测将无济于事。您的问题是暂时的，因此您需要对每个时间步进行猜测，如果您使用的是隐式方法（鉴于这是一个扩散问题，您可能应该这样做，除非您希望您的时间步受到严格限制扩散稳定性极限）。已建立的实现数值积分方法（即时间步进器）的库可以很好地为每个时间步构建初始猜测，如果猜测不是很好（它们通常来自与问题无关的启发式算法），时间将减少步骤以保持准确性。
如果您的问题无法进行预处理，四倍精度可能会有所帮助。我知道使用四精度的库并不多。PETSc 可以，但我相信如果您使用四倍精度进行配置，您将仅限于 PETSc 原生求解器和预处理器。
这是可能的。出于调试目的，您应该针对有限差分近似测试您组装的雅可比行列式。如果您在实际模拟中使用有限差分近似，您的问题中有效数字的数量将大致减半，这可能会严重削弱您的准确性，因为您的问题是病态的；也就是说，您似乎没有在模拟中使用该近似值。
如果您将系统编写为单个矩阵，则可能需要缩放这两个方程，以使它们具有大致相同的数量级。与其详细描述要做什么以及为什么要做，让我简单地链接到一个我们这样做的例子：http ://dealii.org/developer/doxygen/deal.II/step_32.html#Thescalingofdiscretizedequations