对于您的情况，$L^2$规范是自然的。如果你有这样的等式

$$\rho(x) u_t - (a(x) u_x)_x = f$$ 那么自然规范将是$\|u\|_{L^2_\text{weighted}} = \|\sqrt{\rho} u\|_{L^2}$作为的模拟$L^2$规范，和$|u|_{H^1_\text{weighted}} = \|\sqrt{a} u_x\|_{L^2}$作为能量的模拟（$H^1$) 规范。如果您将等式乘以，您自然会得到这些$u$要么$u_x$，分别在域上进行积分。如果这两个系数从下到上逐点有界，那么这些范数当然等价于$L^2$和$H^1$规范，分别。因此，如果您在加权规范中有结果，那么您会立即在原始规范中获得相同的结果。

使用这种技术，显示收敛$L^2_\text{weighted}$，那么你立即收敛于$L^2$以及，因此在$L^1$.

我似乎认为在任何其他方面表现出收敛没有多大意义$L^p$规范$p$都不是$1,2,\infty$. 似乎没有人关心其他价值观$p$我也找不到关心的理由。

一般来说，适定性（结合了存在性、独特性和稳定性）只存在于您展示它的空间中。小空间里不可能有解，大空间里不可能有多个解。解决方案对数据的持续依赖还取决于您获取数据和解决方案的范数（因此也取决于范数空间）。

正如 Wolfgang Bangerth 已经指出的那样，存在一个自然范数（能量范数），其中稳定性适用于连续问题，因此适用于任何一致的近似。如果（！）您的数据足够平滑，您当然可以改进它以获得更高规范的稳定性。

如果您专注于特定的离散化，那么您是正确的，只要您在一个规范中具有稳定性，有限维度上的规范等价就可以使您在任何规范中都具有稳定性。但是（这是关键点），等价常数取决于您的离散化，并且通常作为离散化参数爆炸$h$趋向于 0。不用说，这使得等价论点无法证明误差估计为$h$趋于0...

我还应该指出$L^\infty$时间误差估计是逐点估计$u_h(t)$在任何$t\in[0,T]$，不仅仅是时间步长$u_n = u(t_n)$. 这使得这些估计比（比方说）更难获得$L^2$估计。

最后，我认为你的问题是错误的：这不是“让我们展示收敛，我应该选择什么规范？” 但是“我需要在那个规范中收敛，我该如何展示它？” （如果有任何规范可以，请使用能量规范。）