计算科学 - 修正线性方程组的解 - 吾爱随笔录 - 问答

修正线性方程组的解

计算科学线性代数

2021-12-03 18:37:35

假设我们有一个线性方程组

A x = b

$Ax=b$

其中是矩阵，和是 -向量。让表示这个方程组的解。我想改变矩阵使得新的解决方案是向量其中 $A$ $3 \times 3$ $x$ $b$ $3$ $y$ $A$ $z$

z_{1} > y_{1}, z_{2} = y_{2}, z_{3} < y_{3}

$z_1 > y_1, \qquad z_2 = y_2, \qquad z_3 < y_3$

是否有系统的方法来实现这一目标？换句话说，我想要一种系统的方法来找出我应该在矩阵中引入哪些变化，使得 $A$

新解决方案的某些条目大于旧解决方案的相应条目。 $z$ $y$
新解的其他条目等于旧解的相应条目。 $z$ $y$
的一些其他条目小于旧解决方案的相应条目。 $z$ $y$

有没有一种方法或技术可以实现这一目标？这叫什么？谢谢你。

2个回答

这是一个系统的方法。数值求解一个优化问题以找到一个矩阵，它在某种意义上是最小的，比方说 Frobenius 范数，这样 where是新旧解元素之间的某个指定的最小分离量，并且是必需的，因为数值优化求解器不处理连续变量的严格不等式。 $E$

(A + E) x = b

$(A+E)x = b$

x_{1} \geq y_{1} + d

$x_1 \ge y_1 + d$

x_{2} = y_{2}

$x_2 = y_2$

x_{3} \leq y_{3} - d

$x_3 \le y_3 - d$

d

$d$

我在这里展示了 CVX（在 MATLAB 下）中 3 x 3实现。但这很容易推广到更高的维度和许多变化。、、和是优化问题的输入数据，和是优化中要求解的（决策）变量。 $A$ $A$ $b$ $y$ $d$ $x$ $E$

cvx_begin
variables x(3) E(3,3)
minimize(norm(E,'fro'))
subject to
(A+E)*x == b
x(1) >= y(1) + d
x(1) == y(2) 
x(3) <= y(3) - d
cvx_end

最后，E 将是具有满足约束的最小 Frobenius 范数的矩阵。请注意，如果是奇异的并且存在满足所有约束的解决方案，其中是零矩阵（即，不“改变”），那么这种解决方案将通过这种优化方法找到，而无需任何特殊逻辑。 $A$ $E$ $A$

如果你想，给定一个解决方案，获得矩阵，系统。您可以这样做：作为矩阵 A 的列。 $A$ $Ax=b$

A x = [a_{1}, a_{2}, a_{3}] x = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3} = b

$Ax=[a_1,a_2,a_3]x=x_1a_1+x_2a_2+x_3a_3=b$

a_{i}

$a_i$

选择线性独立向量和并按如下方式计算确保得到的矩阵是非奇异的，即选择例如和垂直于。 $a_1$ $a_2$ $a_3$

a_{3} = \frac{1}{x_{3}} b - \frac{x_{1}}{x_{3}} a_{1} - \frac{x_{2}}{x_{3}} a_{2}

$a_3=\frac{1}{x_3}b-\frac{x_1}{x_3}a_1-\frac{x_2}{x_3}a_2$

A

$A$

a_{1}

$a_1$

a_{2}

$a_2$

b

$b$

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