您实际上是在询问如何计算，其中是给定的矩阵。有几种方法可以在不形成 ，这里对它们进行了回顾。一种通用方法是使用柯西定理 与。的所有特征值的轮廓，因此您需要首先估计最大特征值的大小，例如，使用幂方法。然后你用梯形规则近似积分。您需要求解多个$y=(\log M )^{-1}b$$M=e^A$$f(M)b$$f(M)$

$$y=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\Gamma f(z)(zI - M)^{-1}b\,dz,$$ $f(x) = 1/\log(x)$$\Gamma$$M$$(zI-M)x =b$, 对此，初步简化为 Hessenberg 形式是有用的。

我正在将我的评论扩展到答案。我认为该方法效率不高，但我认为它可以用于从。$A$$e^{A}$

我们知道

$$\frac{d e^{tA}}{dt} = e^{tA} A\, ,$$

所以，我们可以使用

$$\left.\frac{d e^{tA}}{dt}\right|_{t=0} = A\, ,$$

如果我们可以近似导数

$$\frac{d e^{tA}}{dt} \approx D(A)\, .$$

例如，我们可以使用前向有限差​​分

$$\left.\frac{d e^{tA}}{dt}\right|_{t=0} \approx \frac{e^{hA} - I}{h}\, ,$$

但问题是我们需要计算矩阵的分数幂。也许我们可以利用高阶近似并只使用矩阵的整数幂，但是我尝试过的几个不能正常工作。$e^{A}$

它似乎有效，但我怀疑它是否有效。

import numpy as np
from scipy.linalg import logm, fractional_matrix_power as powm
import matplotlib.pyplot as plt

eA = np.array([
    [1, -1],
    [1, 2]])
A = logm(eA)
rel_error = []
steps = [1, 1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5]
for h in steps:
    A1 = np.real((powm(eA, h) - np.eye(2))/h)
    rel_error.append(np.linalg.norm(A - A1)/np.linalg.norm(A))

plt.loglog(steps, rel_error)
plt.xlabel("Relative error")
plt.xlabel("$h$")
plt.savefig("matexp.png", dpi=300, bbox_inches="tight")
plt.show()

如果我们通过找到变换 S 对矩阵进行对角化，使得其中 D 是对角矩阵并且 D 的对角元素特征值那么相同的变换使对角，并且特征值是。进行对角化并对特征值取对数，我们找到矩阵，这足以解决线性系统；并使用变换我们可以找到原始矩阵$A$$A = S D S^{-1}$$D$$\lambda_k$$e^A$$e^{\lambda_k}$$e^A$$D$$S$$A.$

或者，如果足够接近统一，您可以使用泰勒展开来找到，$B=e^A$$A$$A = log(B) = (B-I) + (B-I)^2/2 - (B-I)^3/3 + ...$