根据MathWorld矩阵是正定 iff 对于所有非零向量。很容易得到 并认识到正定性与谱有关的对称部分。$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$

$$(x^T A x) > 0$$ $x\in\mathbb{R}^n$ $$x^T\,A\,x = x^T\, \left [ \frac12(A+A^T) \right ]\, x$$ $A$

一般实方阵是正定的，当且仅当其对称部分具有所有正特征值。$A$$\frac12(A+A^T)$

的正谱并不意味着具有正谱，因为它可以看到 如果我们假设和这个矩阵有正谱，但是 现在如果 ,且不是正定的。$A$$\frac12 (A+A^T)$

$$A = \begin{pmatrix}a & 1\\ 0 &b\end{pmatrix}$$ $a>0$$b>0$ $$\mathrm{det} \frac12 (A+A^T) = ab-\frac14$$ $ab < 1/4$$\mathrm{det} \frac12(A+A^T)<0$$A$

底线：对于非对称矩阵的符号感兴趣，则必须研究的特征值。$A$$x^TAx$$(A+A^T)/2$

通常，术语“正定”是指任何正方形 Hermitian 矩阵使得对于所有非零向量，其中上标表示 Hermitian 转置。一个等价的定义表明正定矩阵是 Hermitian 并且具有严格的正谱（这个陈述是适定的，因为 Hermitian 矩阵具有实数谱）；见维基百科。$A$$x^{H}Ax > 0$$x$$H$$A$

此定义有时会扩展为包括非 Hermitian 矩阵，但此类扩展定义可能不适合您正在考虑的应用程序。要求是 Hermitian 可能更安全。$A$