对初始条件的连续依赖意味着如果对于每个存在一个使得 我在这里使用了 给出的定义。$\epsilon > 0$$\delta(\epsilon) > 0$

$$\Vert x_0 - \widetilde{x_0} \Vert \leq \delta(\epsilon) \Rightarrow \Vert x(t, x_0) - x(t, \widetilde{x_0}) \Vert \leq \epsilon \: \forall \: t_0 = 0 \leq t \leq T$$ $t_0 = 0$

为什么这很重要的经典例子是洛伦兹系统/吸引子，它至少表现出对初始条件的敏感依赖性。该主题的一个很好的介绍是这篇博客文章，其中显示洛伦兹常微分方程对于初始条件中看似很小的偏差表现出非常不同的行为。

的变化，您也可能会出现混沌行为。因此，您对参数系统适定性的定义可能会扩展到要求对参数的连续依赖。$\mu$$f\big(x(t), t ; \mu\big)$

为什么适定问题需要这些连续依赖标准？从计算科学的角度来看，您希望信任从模拟中获得的解决方案。问题是每台计算机只能以有限的精度表示初始条件 - 无法实现低于数据类型阈值的任何差异。但是，由于您也可以测量实际物理量，但只能达到一定的精度，因此实际上您永远不会准确地达到真正的物理起点。对于没有持续依赖初始数据的系统，您基本上可以不信任您的模拟！这就是为什么例如在天气模拟中，人们在不同的初始条件下运行多个模拟并获得平均值以预测可能发生的事情。

不适定问题的一些经典示例是从解的测量中推断 PDE 的系数。举一个具体的例子，考虑泊松问题

$$-\nabla^2 u = f$$

在域上服从 Dirichlet 边界条件。前向问题是在给定密度中找到这个 PDE的解 ，它也存在于这个空间中。前向问题是适定的，因为映射是一个连续线性算子，其中是对格林函数的积分。对于好的域，我们甚至可以计算的算子范数的显式界限。$\Omega$$u|_{\partial\Omega} = 0$$u$$L^2(\Omega)$$f$$f \to Gf$$G$$G$

现在假设我们有一组有限的线性泛函并且我们得到了一些测量值$\{\mu_1, \ldots, \mu_N\}$

$$\xi_i = \langle \mu_i, u\rangle + \epsilon_i$$

其中是不相关的正态随机变量，均值为 0，方差为。请记住，我们不知道或是什么，只知道这个向量。我们的工作是估计的真实值。我们可以把它变成一个最小二乘问题：找到二次泛函$\epsilon_i$$\sigma_i$$u$$\epsilon$$\xi$$f$$f$

$$J(f) = \frac{1}{2}\|\xi - M\cdot G\cdot f\|_{\Sigma^{-1}}^2$$

其中到观测值的映射。这个逆问题是不适定的，因为有许多可能的解决方案，并且对数据的估计值完全不同。$M : L^2(\Omega) \to \mathbb{R}^N$$u$$\xi$$\xi$$f$

要理解为什么正向问题是适定的而逆向问题不是适定的，有助于理解拉普拉斯算子的谱特性。我之前说过求解泊松方程是一个连续的线性运算，但实际上我在那里掩盖了很多细节。解算子不仅是连续的——它是一个紧算子，输出比输入平滑得多。相比之下，您可以将拉普拉斯算子本身视为高通滤波器，因为它倾向于放大输入信号的高波数分量。解决上述的逆问题相当于将此高通滤波器应用于嘈杂的实验数据$G$，这只会进一步放大噪音。当试图在没有某种形式的正则化的情况下解决问题时，这种不适定性通常以极端振荡或嘈杂的估计具体来说维基百科文章中的定义，逆运算符作为从到自身的映射并不连续。到其对偶的映射是连续的，但这实际上对我们没有任何帮助。）$f$$L^2$$H^1$$H^{-1}$

摆脱这种困境的一种方法是使用贝叶斯方法。通常我们对并不完全无知，我们可能拥有的任何先验信息都可以用来规范问题。如果您有兴趣了解更多这方面的信息，我真的很喜欢Parameter Estimation and Inverse Problems一书——对 Dan Doe 的回答发表评论的 Brian Borchers 是第二作者。$f$

我怀疑您混淆了适定优化问题（无论初始猜测如何，您都希望有一个解决方案）和适定微分方程（您希望在初始条件下是连续的）