计算科学 - 为什么很多人用FDM方法求解Stokes方程，即鞍点矩阵？ - 吾爱随笔录

对于斯托克斯方程的数值方法，具有适当的边界：

- \nabla^{2} \vec{u} + \nabla p = \vec{0}

$-\nabla^{2} \vec{u}+\nabla p=\overrightarrow{0}$

\nabla \cdot \vec{u} = 0

$\nabla \cdot \vec{u}=0$

可以使用FDM（有限差分法）或FEM（有限元法）对其进行离散化，它们都可以转化为鞍点系统，如下所示：

[\begin{array}{ll} A & B^{T} \\ B & O \end{array}] [\begin{array}{l} u \\ p \end{array}] = [\begin{array}{l} f \\ g \end{array}]

$\left[\begin{array}{ll}{A} & {B^{T}} \\ {B} & {O}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{\mathbf{u}} \\ {\mathbf{p}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{\mathbf{f}} \\ {\mathbf{g}}\end{array}\right]$

在哪里 $A$ 是向量拉普拉斯算子，并且 $B$ 是全行排名。

1、如果我们使用FEM，那么对于大鞍点系统，我们可以使用 Krylov 方法，例如带有块对角预处理器 M = blkdiag(A,S)的MINRES，其中 $A$ 可以用AMG来逼近，而舒尔补S可以用压力质量矩阵来逼近（因为压力质量矩阵已经证明在谱上与舒尔补 S 等价），从而得到一个最优的迭代结果，即迭代次数与网格大小无关。所以在这种情况下，我认为没有比这个块对角预处理器更好的预处理器了。有人知道还有其他更好的选择吗？

2、如果我们使用FDM方法，那么就没有质量矩阵这样的概念了，所以我们不能用舒尔补形式S的一些预条件子，这种情况下只有矩阵A可以用AMG逼近，所以我们无法获得最佳的迭代结果（与网格大小无关）。

我的问题是：在我看来，对于斯托克斯方程，目前最好的方法（虽然我应该知道没有最好的方法）是带有块对角预处理器的 FEM，对吧？但是我仍然在文献中找到了许多预处理器，例如 HSS（Hermitian and skew-Hermitian split），以及一些变体：AHSS、PHSS、RHSS，以及移位拆分、广义移位拆分等。如果一个预条件子（用M1表示）的性能比带有块对角预条件子的 FEM差，那M1有什么意义？（因为我在许多出版物中看到，作者提出的新方法并不比带有块对角预处理器的 FEM 表现更好，例如，他们使用 Cholesky 来近似刚度矩阵 $A$ 太贵了）我真的被文献中的这么多方法弄糊涂了。因为我认为这些都是没有意义的，除非它们可以比带有块对角预处理器的 FEM 方法更好。

你能给我一些关于我的疑虑的建议或者你对鞍座系统的看法吗？