给定$A \in {\bf S}^n$（正定矩阵）具有特征值$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \ldots \leq \lambda_n$， 然后：

1. $\displaystyle f_k(A)=\sum_{i=1}^{k} \lambda_i$是凹的。为什么？

   $$f_k(A) = \inf \left\{ {\bf tr}(V^T A V) | V \in {\bf R}^{n \times k}, V^T V = I \right\}$$

   这是从 Poincare 分离定理得出的（参见例如Horn 和 Johnson 的矩阵分析，第 2 版，推论 4.3.37 和 4.3.39）。$f_k$是线性函数族的逐点下确界${\bf tr}(V^T A V)$，因此它是凹的（Boyd 和 Vandenberghe，第 3.2.3 节）。

2. $\displaystyle g_k(A)=\sum_{i=n-k+1}^{n} \lambda_i$是凸的。同样，我们可以证明

   $$g_k(A)=\sum_{i=n-k+1}^{n} \lambda_i(A) = \sup \left\{ {\bf tr}(V^T A V) | V \in {\bf R}^{n \times k}, V^T V = I \right\}$$

   $g_k$是线性函数族的逐点上确${\bf tr}(V^T A V)$，因此它是凸的（Boyd 和 Vandenberghe，第 3.2.3 节）。

cvxpy 将该函数视为凹函数（链接）。