是的，确实如此，CVX 包（披露：我是作者）不支持fft()在约束和目标表达式中使用命令。但是，在 1D 和 2D 情况下，获得等效结果相对简单。

首先，一维。给定一个向量，的 DFT等于，其中是所谓的 DFT 矩阵。以下是在 MATLAB 中构造 DFT 矩阵的几种方法：$x\in\mathbb{R}^n$$x$$Wx$$W$

W = fft(eye(n))
W = exp(1j*2*pi*[0:n-1]'*[0:n-1]/n)
W = exp(bsxfun(@times,1j*2*pi*[0:n-1]',[0:n-1]/8))

现在尝试使用随机向量来验证正确性：

x=randn(n,1)+1j*randn(n,1)
fft(x)
W*x

2D ffts 呢？给定一个方阵，可以通过对矩阵的每一列应用一维 DFT，然后对每一列应用一维 DFT 来获得二维 DFT矩阵的行。用 DFT 矩阵表示，2D DFT 就是。来吧，试试下面的 MATLAB 表达式，看看它们是等价的：$X\in\mathbb{R}^{n\times n}$$W$$WXW^T$

X = randn(n,n)+1j*randn(n,n)
fft2(X)
fft(fft(X,[],2),[],1)
fft(fft(X).').'
W*X*W.'

注意上面非共轭转置的使用W.'；这很重要。如果您改用标准的 Hermitian 转置'，您将得到一个加扰的结果。

总之，给定一个方阵变量X，您可以对一个方阵 CVX 变量执行 2D FFT，如下所示：

W=fft(eye(size(X));
W*X*W.'

再次注意，我在上面使用了非共轭转置。

请注意，2D DFT 变大的速度很快。也就是说，n^2如果矩阵的维度为 ，则此处有变量[n n]。因此，即使是 512 x 512 的图像，按矩阵标准计算并没有那么大，仍然有超过 250k 个变量，而按 CVX 标准计算，这可能很多。一旦您对模型在较小问题上的表现感到满意，您可能需要开发自己的数值引擎来解决较大的情况。

鉴于在这里解决 CVX 的限制相对简单，有理由问：为什么不fft()使用此处描述的一种技术在 CVX 中添加对的支持？好吧，我可以这样做。但是，重要的是要记住 FFT 代表快速傅里叶变换。它是一种用于生成离散傅里叶变换 (DFT)的快速算法。具体来说，它可以仅在次操作中计算 DFT。$O(N\log N)$

另一方面，矩阵解决方法以操作为代价构建了一个完整的 DFT 矩阵——“快速”就这么多！我不想用 CVX 真正使用快速傅立叶变换的错误感觉来欺骗用户。事实是，它不能：底层求解器没有利用 FFT 算子的效率。$O(N^2)$$N\log N$

CVX 示例库包含许多利用手动生成的傅立叶变换的问题。特别是查看滤波器设计示例。

假设 A 是 M × N 矩阵，则 fft2(A) = dftmtx(M) * A * dftmtx(N)。另外，我们有