警告

首先，请注意，稳定通常比使用稳定元素要脆弱得多。如果你解决的问题范围很窄，你也许可以选择合理的参数并继续你的工作，但如果你解决的问题范围很广，或者需要解决要求不高的场景，尤其是规则边界较少的情况，系数结构和本构关系，稳定化通常需要时刻保持警惕，以检测和量化数值伪影的影响，并重新调整参数。

出于这些原因，如果您想要一种不需要经常重新访问的稳健方法，我强烈推荐使用稳定元素（尤其是那些具有不连续压力空间的元素，因此局部保守）。在我看来，可靠性和清晰的分析值得数据结构复杂性的适度增加。

稳定方法

我将在稳定术语的背景下概述两个最受欢迎的选择$S_h(\mathbf u_h, p_h, \mathbf f; \mathbf v_h, q_h)$被添加到弱形式。

• 压力稳定的 Petrov-Galerkin (PSPG) 这种稳定的形式为

  $$S_h^{\text{pspg}}(\mathbf u_h,p_h;q_h) = \sum_{T \in \mathcal{T}_h} \alpha_T\Big(-\nabla\cdot(\eta D \mathbf u_h) + \nabla p_h - \mathbf f, \nabla q_h\Big)_T$$ 内积在哪里$(\cdot,\cdot)_T$在元素上进行评估$T$. 该方法由 Hughes、Franca 和 Balestra 在 1986 年引入，是一种基于残差的方法。它需要元素的二阶导数（如果适用；对于具有仿射元素的最低阶空间，它们仅为零）。当解不是很好解决时，元素积分可能与实际的单元残差有很大不同（因为相邻单元的影响被丢弃了）。稳定会为压力产生非物理边界条件，从而导致局部不准确性影响感兴趣的功能（例如阻力）。有更强大和更准确的边缘稳定修改，但这些更复杂并且会增加模板。残差稳定为更复杂的问题（如反应和湍流模型）和显着的实现复杂性增加了大量的耦合。对于与时间相关的问题，该公式很麻烦，因为“仿射”项进入了内积，因此通常排除了线法方法。PSPG 还破坏了对称性（与伴随一致性相关）并增加了对伴随的规律性要求，使其对优化和敏感性分析的吸引力降低。

• 局部压力投影 这种概念上更简单的方法使用了形式的稳定性

  $$S_h^{\text{lps}} = (\alpha \tilde \pi p_h, \tilde \pi q_h)$$ 在哪里$\tilde \pi$是一个局部波动算子，并且$\alpha$是比例因子。Dohrmann 和 Bochev (2004) 研究了可能是最简单的选择，$\tilde \pi = 1 - \pi_{k-1}$， 在哪里$\pi_{k-1}$是逐单元投影到比连续空间小一阶的多项式空间。有许多基于补丁和边缘稳定的选择，请参阅 Braack 和 Lube 的 2009 年评论。这些方法更易于实现和保持对称性，但通常不太稳健。

这是一个较晚的响应，但我想指出使用压力近似类型的投影方法的选项（对于时间相关的情况），基于求解具有适定边界条件的压力的泊松方程。有关推导和测试，包括使用等阶有限元的测试，请参见 [1]。

我不得不承认，Jed Brown 的警告在很大程度上仍然适用，但是 --- [1] 中提出和讨论的方案看起来非常灵活，并得到了一些理论和一些测试的支持，但还没有在许多不同的问题上得到广泛的测试。它们可能被证明是强大的，但这必须通过经验来证明。

[1] J.-G. Liu，J. Liu，RL Pego，不稳定不可压缩粘性流的稳定和准确压力近似，J. Comp。物理。229 (2010) 3428-3453。