最优目标函数值将是的最小特征值，包括零个特征值，最优解将是对应于该特征值的特征向量。$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$

根据定义，特征向量必须是非零向量。

得出此答案的一种方法是注意对称矩阵将始终具有特征分解 =，其中是正交矩阵，的特征值组成的对角矩阵（因此它们正确对应于的列）。使用变换，并回忆正交矩阵保留标准内积范数，问题等价于$\mathbf{A}$$\mathbf{A}$$\mathbf{Q}^{T}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{Q}$$\mathbf{Q}$$\boldsymbol{\Lambda}$$\mathbf{A}$$\mathbf{Q}$$\mathbf{y} = \mathbf{Qx}$$\min_{\mathbf{x}^{T}\mathbf{x} = 1}\mathbf{x}^{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$$\min_{\mathbf{y}^{T}\mathbf{y} = 1} \mathbf{y}^{T}\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{y}$。后一个问题的解决方案是一个向量，其唯一的非零条目是一个，在对应于最小特征值的索引处。

正如 Arnold Neumaier 所说，Lanczos 会起作用。

$x=0$不满足约束，因此无关紧要。您的问题的解决方案是属于的最小特征值的任何归一化特征向量。$A$

Lanczos 算法可以有效地找到大型稀疏矩阵的最小特征值的特征向量，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Lanczos_algorithm