速度 Verlet 是否处理可变时间步长？我发现了关于它的有争议的陈述。

在论文Skeel, RD 中，“可变步长使 Stömer/Leapfrog/Verlet 方法不稳定”，BIT 数值数学，卷。33, 1993, p. 172–175。作者证明了 Verlet 方法，包括越级（速度）Verlet

$x_{i + 1} = x_i + v_i \Delta t + \frac{1}{2} a_i \Delta t^2$

$v_{i + 1} = v_i + \frac{1}{2} (a_i + a_{i + 1}) \Delta t$

具有可变时间步长的有稳定性问题。

Leapfrog 方法的维基百科文章和这个stackoverflow 答案提出了替代公式

$v_{i + 1/2} = v_i + \frac{1}{2} a_i \Delta t$

$x_{i + 1} = x_i + v_{i + 1/2} \Delta t$

$v_{i + 1} = v_{i + 1/2} + \frac{1}{2} a_{i + 1} \Delta t$

可变时间步长的速度 Verlet。

嗯，这很奇怪。这两个公式在数学上是等价的，第二个公式仅针对显式半步速度项重新排列$v_{i + 1/2}$- 如果我们将这个术语替换回来，那么我们会得到原始的速度 Verlet 公式。

为什么第一个公式会失败，而第二个公式在可变时间步长下仍然正确？