计算科学 - 2 x 2 复矩阵的奇异值分解 - 吾爱随笔录 - 问答

2 x 2 复矩阵的奇异值分解

计算科学 svd

2021-12-12 00:32:02

这应该很容易，但是...

我想表达一个 2 x 2 复矩阵的奇异值分解 $A$ 作为其系数的函数 $A_{ij}$ . 在“封闭形式”中，没有中间值，直接向上。

我的意思是，如果我用特征值来表示 SVD，那么我必须用的形式写出这些特征值并替换。换句话说，我不想用其他东西的解决方案来写SVD的解决方案。 $A_{ij}$

可能有用的背景：

在关于 SVD 的 Wikipedia 页面中，如果将写为 Pauli 矩阵（和恒等式）的线性组合，则奇异值用相应的系数表示。但是我不知道你是如何找到这些系数的，所以我不知道它们本身是否处于“封闭形式”。 $A$

http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_decomposition

谢谢。

1个回答

矩阵空间的正交基，因此找到展开系数只是在该基上的投影（即，您需要在每个元素上形成矩阵的内积以此为基础）。 $2\times 2$

但是，对于矩阵，答案很简单，可以马上写下来。特征值是那些值其中中的一个二次方程：其中的元素立即写下根。 $2\times 2$ $\lambda$

det (A - λ I) = det (\begin{matrix} a_{11} - λ & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - λ \end{matrix}) = 0.

$\det (A-\lambda I) = \det \begin{pmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-\lambda \end{pmatrix} = 0.$

λ

$\lambda$

(a_{11} - λ) (a_{22} - λ) - a_{12} a_{21} = 0

$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)-a_{12}a_{21} = 0$

A

$A$

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