计算科学 - 用“跳跃”系数求解 ODE - 吾爱随笔录

我正在数值求解以下形式的线性耦合 ODE

y^{'} (t) = \hat{M} (t) y (t) = [\begin{array}{cc} 0 & A (t) \\ B (t) & 0 \end{array}] y (t),

$y^{\prime}(t) = \hat{M}(t)y(t)=\left[\begin{array}{cc}0& A(t)\\ B(t)& 0\end{array}\right]y(t),$ 我遇到的困难是

A (t)

$A(t)$ 和

B (t)

$B(t)$ 不要长时间改变并突然迅速改变。这是我正在处理的一个例子的情节：

蓝线在左轴，橙线在右轴。我在 python 中使用 scipy 的 Runge-Kutta 45 实现来解决 ODE 并有一个数组 $A(t)$ 和 $B(t)$ 在我开始之前（即它不是一个函数，而是从任意采样数据派生的）。

只要我施加足够小的max_step参数来捕捉快速变化，我就可以获得准确的解决方案，但这需要很长时间，而且我处于对性能敏感的应用程序中。例如，我需要对这个函数进行大约 100k 的函数评估才能获得良好的收敛性（1E-4 精度）。当然，求解器在系数不变的区域浪费了大量时间/函数调用。我手头也有系数数组，并且在某种意义上已经知道问题点在哪里，并且应该能够事先告诉求解器它们。

我的问题是：如何有效地求解具有脉冲系数的 ODE？ 或者，有没有比使用 RK45 更好的方法来解决采样数据的 ODE？ 我只是对系数进行插值并将其像连续函数一样传递给求解器，但我不确定其他人会推荐什么。

编辑：另一个想法，有没有办法以正交方式解决这个ODE，就像解决方案一样 $y^\prime(x)=f(x)y(x)$ 只是 $e^{\int f(x)dx}$ ? 即使通过对角化我也看不到简单的方法 $M$ 因为它取决于 $t$ ，但谁知道呢？实际上，该等式是否适用于带有矩阵求幂的矩阵？事情没有那么简单，不是吗？