计算科学 - 对于鞍点问题，除了块诊断和块上三角预处理器之外，还有其他更好的方法吗？ - 吾爱随笔录

对于斯托克斯问题，具有适当的边界条件，以保证存在唯一的解决方案。

- Δ \vec{u} + \nabla p = \vec{f}, \nabla . \vec{u} = 0;

$-\Delta \vec{u} + \nabla p =\vec{f},\qquad \nabla . \vec{u} = 0;$

使用FDM 或 FEM，离散化，我们可以得到一个鞍点系统其中，矩阵是SPD，矩阵是满列秩，所以是非奇异的。

A x = [\begin{matrix} B & E \\ E^{T} & O \end{matrix}] [\begin{matrix} u \\ p \end{matrix}] = b,

$Ax = \begin{bmatrix} B&E\\ E^T&O \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u\\p\end{bmatrix}=b,$

B

$B$

E

$E$

A

$A$

众所周知，Krylov 子空间方法，例如MINRES、GMRES等，会很慢。我们必须使用前置条件来加快收敛速度。我知道，也许最好的选择是块对角和块tiragular预处理器如下：其中矩阵是 Schur 补码。因为预处理矩阵分别为3 和 2，这意味着GMRES在精确算术意义上最多会收敛3 和 2步。

P_{1} = [\begin{matrix} B & O \\ O & S \end{matrix}], P_{2} = [\begin{matrix} B & E \\ O & S \end{matrix}]

$P_1 = \begin{bmatrix} B&O\\O&S \end{bmatrix},\qquad P_2 = \begin{bmatrix} B&E\\O&S \end{bmatrix}$

S = E^{T} B^{- 1} E

$S = E^TB^{-1}E$

P_{1}^{- 1} A, P_{2}^{- 1} A

$P_1^{-1}A, P_2^{-1}A$

因此，我们唯一需要做的就是找到逼近矩阵的最佳方法，以获得最优的。幸运的是，AMG是光谱等价的，而 Schur compelemt与恒等矩阵是光谱等价的。这个预处理器是最优的，这意味着迭代步骤与网格大小无关，CPU 时间与未知数成线性关系。我认为到目前为止，没有比AMG和和的标识矩阵更好的预处理器了，对吧？ $B,S$ $B^{-1},S^{-1}$ $B$ $S$ $B$ $S$

我的问题是，从上面的讨论中，我发现鞍点问题已经解决了，因为确实存在易于反转且与网格大小无关的最优预条件子。那么，为什么还有很多人研究鞍点问题。有没有比上述更好的预处理器？我找不到，如果你找到了，请给我一个例子。

（或者这个预条件子可能只是斯托克斯问题的最佳选择？或者如果鞍矩阵来自其他实际应用程序，我们仍然可以使用这个最佳预条件子吗？）欢迎任何提示和建议。