的结构$C_i$给人一种希望$C_i$可以说是低秩更新。如果是这样的话（方块的大小远小于矩阵的大小$B$)，可以将经典方法应用于基于 Sherman-Morrison-Woodbury 恒等式的低秩更新。

虽然更新 LU 分解不是最简单的任务（所需的旋转可能对执行的修改很敏感），但它当然是可能的。首先，您可能想阅读 Golub 中 QR 的经典低等级更新部分，Van Loan（第 2 版第 12.6 节）。然后，继续进行复杂的更新$PA=LU$因式分解。

注意，由于$B$是对称的，任何时候都可以利用 Cholesky 分解$C_i$也是对称的。

然而，如果$C_i$不是（足够）低等级，我认为这里的任何储蓄都没有太大希望。

• 如果你打算解决$A_i x = f_i$，另一种选择是使用 Krylov 迭代求解器（如 GMRES）$B$作为预处理器和$B^{-1} f_i$作为起始向量。那么你可以证明所有的残差都属于$C_i$. 迭代将在以下范围内执行$C_i$（这减少了向量的维数$N$降到$C_i$）。
• 有关 GMRES 的参考，您可以查看 Heikkola, Rossi, Toivanen 的第 4.2 节，“三维亥姆霍兹方程的平行虚拟域方法”，SISC，卷。24，第 1567-1588 页（2003 年）。
• 最后，您可以在每一步回收 Krylov 子空间$i$， 只要$C_{i+1}$和$f_{i+1}$相对“接近”$C_{i}$和$f_i$.