我的应用程序中计算量最大的部分是矩阵的三角化，$\mathbf{S} = \operatorname{triag}\left(\mathbf{A}\right)$, 这样$\mathbf{S}\mathbf{S}^T = \mathbf{A} \mathbf{A}^T$.

对于这个应用程序$\mathbf{A} \in \Re^{n \times 2(n+v)}$， 在哪里$n$通常接近相同的值$v$.

目前，我通过 QR 分解求解，$\mathbf{A}^T = \mathbf{Q} \mathbf{R}$：

$\mathbf{A} \mathbf{A}^T = (\mathbf{R}^T \mathbf{Q}^T) (\mathbf{Q} \mathbf{R})$

$= \mathbf{R}^T \mathbf{Q}^T \mathbf{Q} \mathbf{R}$

$= \mathbf{R}^T \mathbf{R}$

$= \mathbf{S} \mathbf{S}^T$

这给出了我想要的形式。

有没有更有效的方法来执行这个操作？即使是对 QR 的适度节省也将提供性能提升，因为这一操作占我总计算时间的 30%。

这$\operatorname{triag}()$函数是Divided Difference Filter的核心，类似于更常见的Unscented Kalman Filter。该问题在介绍Cubature Kalman 滤波器的论文中明确提到。

简而言之，它基于非线性过程模型和状态协方差 Cholesky 因子计算四个“除差”矩阵。这四个矩阵水平连接，然后三角化——这形成了预测的状态协方差：

$\mathbf{S}(k+1|k) = \operatorname{triag}\left(\begin{bmatrix} \mathbf{S}_{xx}^{(2)} & \mathbf{S}_{xv}^{(1)} & \mathbf{S}_{xx}^{(2)} & \mathbf{S}_{xv}^{(2)} \end{bmatrix} \right)$

其中以上是上面计算的“除差”矩阵。然后直接使用预测的状态协方差 Cholesy 因子来生成预测测量值的“除差”矩阵。$\mathbf{S}_{pq}^n$$\mathbf{S}(k+1|k)$

预测测量值的三角化过程遵循类似的过程，但由于我的测量向量与我的状态向量相比较小，因此该计算（以及随后的卡尔曼增益/更新）方程不是计算密集型的（大约 4% 的过程时间）。