我正在尝试执行数学定义的卷积$f \star g (\tau)= \int_{\mathcal{R}}f(t-\tau)g(t) dt$在数值模拟中。因此，我的信号是点的采样$f(x_i)$.

我需要计算准确、公正。确实，模拟在那里可以显示出非常精细的效果，所以我不能丢弃原则上的小错误。另请注意，此卷积将在大型阵列上执行很多次，因此它需要高效。

我的问题是我是否以及如何正确计算这个卷积？我已经尝试过已经在 J​​ulia（或 Python，同样的故事）中实现的 FFT 算法，但我似乎有系统错误，如下所示。这些是我不了解的产物吗？我还应该怎么做？

此代码是一个“测试”，用于检查卷积两个框是否以数字方式给出分析结果：

using Plots
using FFTW
using DSP


function box(x)
    if abs(x) < 0.5
        return 1
    else
        return 0
    end
end

function analytical_convolved_box(x)
    if x <= 0 && x > -1
        return x + 1
    elseif x > 0  && x < 1
        return 1 - x
    else
        return 0
    end
end

x = range(-2, stop = 2, length = 20)
dx = x[2] - x[1]

input = box.(x)

l_half = convert(Int,length(input)/2)

output = dx *conv(input, input)[l_half+1:3l_half]

plot(x, box.(x), color = :blue)
plot!(x, box.(x), seriestype = :scatter, color = :blue)
plot!(x, analytical_convolved_box.(x), color = :green)
plot!(x, analytical_convolved_box.(x), seriestype = :scatter , color = :green)
plot!(x, output, color = :black)
plot!(x, output, seriestype = :scatter, color = :black)

11分：

x = range(-2, stop = 2, length = 11)
dx = x[2] - x[1]

input = box.(x)

l_half = convert(Int,length(input)/2 - 0.5)

output = dx *conv(input, input)[l_half+1:3l_half+1]

我想清楚地了解事情。请注意，在这两个示例中，并不清楚要使用哪些索引，所以我基本上不得不尝试和猜测。