计算科学 - 用 Galerkin 方法求解非线性热方程得到负值 - 吾爱随笔录

用 Galerkin 方法求解非线性热方程得到负值

计算科学非线性方程

2021-11-29 02:57:13

我正在尝试求解非线性时间相关的热方程

\partial_{t} T = \nabla (k_{T} (T) \nabla T) + f

$\partial_tT=\nabla \left(k_T(T)\nabla T\right) + f$ 使用具有诺依曼边界条件的 Galerkin 方法。对于非线性部分的线性化，我使用牛顿方法。源项

f

$f$ 总是保持积极，因此我希望

T \geq T_{0} \forall t \geq t_{0}

$T\geq T_0\forall t\geq t_0$ 但现在我注意到在某些节点上我的价值

T

$T$ 低于初始值，甚至进入负值范围。我不明白为什么会发生这种情况，它与时间步无关，但与

f

$f$ .
这种行为的原因可能是什么？
我注意到负值的范围大约比最大值小五到六个数量级

T

$T$ 那时，这可能是一个准确性问题吗？

1个回答

事实证明，最近在 deal.II 邮件列表中询问了这个问题的一个变体，所以我将在这里复制我的答案：

您的误解是您认为方程的精确解的属性应该也适用于离散的。但实际上没有任何理由会出现这种情况，除了您知道数值解的极限必须是这样的事实之外 $h\rightarrow 0$ 在某种意义上。

举一个例子，如果你使用 Heaviside 函数

H (x) = {\binom{0 if x \leq 0}{1 if x > 1}

$H(x) = \left\{ {0 \qquad\text{if $x\le0$}} \atop {1 \qquad \text{if $x>1$}} \right.$ 那么它显然是非负的。但是如果你在有限数量的基函数之后进行傅里叶变换并截断，那么你会得到吉布斯现象——这里有很多过冲和下冲的例子： https ://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform 所以对于有限维情况，也不满足连续性。事实上，如果你让

N \to \infty

$N\rightarrow \infty$ ：傅里叶变换只收敛于

L_{2}

$L_2$ ，不在

L_{\infty}

$L_\infty$ ！

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