有人知道一种方法来获得谐波问题的廉价近似（可能还有局部近似）吗？

让我解释一下：我需要计算谐波问题的解 在非常精细的网格上。然而，我可能只对局部近似感兴趣，即在的凸子域上，而没有在整个域上的痛苦。是否存在针对此类问题的一些绿色功能？有什么方法可以计算廉价的近似值吗？扩散张量可以是任何可积函数（这里没有假设平滑性，方程必须在其弱公式中解释）。

$$\begin{equation} div(\alpha(x) \nabla u) = 0, \quad x \in \Omega \\ u(x) = x,\quad x \in \partial \Omega\end{equation}$$ $\mathcal T_f$$\mathcal T_f$$u(x)$$u$$\alpha(x)$

在这方面，“便宜”可能意味着很多东西，但我主要想要的是有一些便宜的计算方法，在我感兴趣的子域中仍然保持“可接受”的准确性。由于我必须在许多子域中计算这样的近似值（实际上子域的集合涵盖了域本身），这就是我希望它“便宜”的原因。分析公式或混合公式会很好，在我的子域附近也可以进行网格细化（这是众所周知的，我同意），同时在其他地方保持粗略的分辨率。