如果特征值在正实轴上，那么这是否意味着系统对于所有时间步进方法都是无条件不稳定的？

不。如果你用向后欧拉采取足够大的时间步长，那么该方案将是稳定的，但可能不准确。潜在的连续问题是不稳定的（在动力系统的意义上）。

是否有可能得到一个在一个时间步长方案中稳定但在不同时间步长方案中不稳定的方案（不管其他方案的时间步长有多小？）。我的感觉是，如果该方案被证明对于一个时间步长方案是不稳定的，无论时间步长有多小（例如，前向欧拉），那么对于所有时间步长方案来说都是不稳定的，因为其他 TVD RK 方法和多step 方法只是前向 Euler 方法的凸组合。我的假设是否正确？另一方面，如果它在一个时间步长方案中是稳定的，是否意味着通过适当调整时间步长，它在所有其他方案中都是稳定的？

使用具有正特征值的系统。对于足够大的时间步长，后向欧拉是稳定的，而在使用前向欧拉或梯形规则与任何时间步长时，它是不稳定的。同样，在使用大时间步长的反向欧拉时，准确性可能是一个问题。

例如，如果我对像浅水这样的方程使用不连续 Galerkin 方法，那么矩阵 A 在每个时间步都会发生变化，是否在每个时间步计算特征值以确保稳定性？

通常不会，不会。自适应时间步进器（例如，实现 BDF 方法和 Adams-Bashforth 方法的 SUNDIALS）将使用启发式方法来检测稳定性和准确性问题，从而相应地调整时间步长。使用固定时间步长时，有时可以通过肉眼检测到不稳定性（最好通过绘图；在明显的情况下可能通过原始数值结果，或者如果您有良好的直觉）。例如，在进行每个线性求解时，可以通过 GMRES 估计极值特征值，这将用于确认可疑的不稳定性诊断。（PETSc 是此类诊断的一个很好的选择。）另一个测试是减少时间步长并通过收敛性研究比较结果；这种策略并非万无一失，但通常可以很好地作为诊断工具。