给定一个一维函数（假设是无限可微的）和 L2（或 H1）范数的规定精度，每个元素上的最优网格和（通常是任意的）多项式阶数是多少，以便近似具有最小的度数自由？（例如，如果我有三个元素，订单$p_1=2$,$p_2=4$和$p_3=10$, 那么有$p_1+p_2+p_3+1=2+4+10+1=17$自由程度。）

答案是网格的多项式阶数和坐标。

特别是，最有效的表示是否在所有元素上具有相等的多项式阶数？

找到这种最佳表示的算法是什么？

朴素算法

对于每个元素总数 N=1, 2, 3, ...，我们选择多项式阶数的所有组合$p_i$（例如对于 N=3，我们有 (1, 1, 1), (2, 1, 1), (1, 2, 1), (1, 1, 2), (2, 2, 1), . .., (100, 1, 1), ...) 我们优化了网格的坐标以最小化 L1 范数。候选者是网格+订单的组合，其 L1 范数低于规定值。我们只保留具有最低自由度的候选人。我们跳过 N 和$p_i$它们具有更多的自由度，因此算法最终必须终止。

动机

我想到的函数示例是有限区间上的径向薛定谔或狄拉克方程的数值解（作为 DFT 或 Hartree-Fock 的一部分），以及各种相应的势。所有这些函数都是无限可微的，数值求解器可以将它们求解到任意数值精度。然后我设置例如$10^{-6}$在 L2 规范中，我想知道最有效的表示形式$hp$-FEM 自由度。