给定，我想使用 LMI 或 SDP在以下不等式中$A\in\mathbb{C}^{n\times n}$$x>0$

其中表示是负定矩阵。$D\prec0$$D$

令和，然后我们得到一个 LMI：$A_1=I-A^*A$$A_2=\frac{A+A^*}{2}$$A_1+xA_2\prec0.$

示例 1：

令$A=\begin{bmatrix}-0.2511+i0.9327&i0.03&0\\0&0.2511+i1.0673&0.01\\0&0&-0.45+i0.7794\end{bmatrix}$

我尝试在 Matlab 上使用以下 cvx 代码来检查示例 1 的可行性：

i=sqrt(-1);
A = [-0.2511 + 0.9327i,   0.0000 + 0.0300i,   0.0000 + 0.0000i;
   0.0000 + 0.0000i,   0.2511 + 1.0673i,   0.0100 + 0.0000i;
   0.0000 + 0.0000i,   0.0000 + 0.0000i,  -0.4500 + 0.7794i];
n=length(A);
I=eye(n);

L0=(I-A'*A);
L1=0.5.*(A+A');

cvx_begin
variable x semidefinite;
minimize 0
subject to
-(L0+x*L1) == semidefinite(n);
cvx_end

输出：

Status: Infeasible
Optimal value (cvx_optval): +Inf

然而，满足上述不等式。$x=0.6165$