计算科学 - 预处理最小二乘问题？ - 吾爱随笔录

计算科学最小二乘预处理

2021-12-02 07:11:47

我需要求解方程组

(\begin{matrix} A \\ I \end{matrix}) x = (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} A \\ I \end{pmatrix} x = \begin{pmatrix} b_0\\b_1 \end{pmatrix}$ 在最小二乘意义上。让我们假设

I

$I$ 是个

n

$n$ -经过-

n

$n$ 单位矩阵，

A

$A$ 是一些

m

$m$ -经过-

n

$n$ 矩阵，例如，具有泊松边界条件的拉普拉斯。

我知道一个好的预处理器 $M$ 为了 $A$ , 所以求解

M^{- 1} A x = M^{- 1} b

$M^{-1} A x = M^{-1} b$ 简单。解决最小二乘问题时可以使用它吗？

1个回答

天真的想法不会立即奏效。的解决方案

min ‖ (\begin{matrix} A \\ I \end{matrix}) x - (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}) ‖

$\min \Bigg\|\begin{pmatrix} A \\ I \end{pmatrix} x - \begin{pmatrix} b_0\\b_1 \end{pmatrix} \Bigg\|$ 和通常是不同的（除非是正交的）。

min ‖ (\begin{matrix} P^{- 1} A \\ I \end{matrix}) x - (\begin{matrix} P^{- 1} b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}) ‖

$\min \Bigg\|\begin{pmatrix} P^{-1}A \\ I \end{pmatrix} x - \begin{pmatrix} P^{-1}b_0\\b_1 \end{pmatrix} \Bigg\|$

P

$P$

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