计算科学 - 平稳迭代的第 k 个近似解是否属于第 k 个 Krylov 子空间？ - 吾爱随笔录

对于平稳迭代法求解 $Ax=b$ 如下：

M x_{k} = N x_{k - 1} + b,

$Mx_k = Nx_{k-1}+b,$ 我知道当时，即 Richardson 迭代，第 k 个解在第 k 个 Krylov 子空间中。因此，如果我们使用 Krylov 子空间方法，例如 GMRES，第 k 个解不仅属于第 k 个 Krylov 子空间，而且还最小化了该子空间上的第 k 个残差。由此，我们知道 GMRES 会自动从第 k 个 Krylov 子空间中选择最佳解决方案。所以，在某种意义上，它会比平稳的 Richardson 迭代方法执行得“更好”（因为 Richardson 迭代只会产生一个位于相同子空间中的解决方案，而不是最小化某个函数），对吧？

M = I

$M = I$

x_{k} = x_{k - 1} + r_{k - 1}

$x_k = x_{k-1}+r_{k-1}$

K_{k} (A, b)

$K_k(A,b)$

x_{0} = 0

$x_0=0$

x_{k}

$x_k$

K_{k} (A, b)

$K_k(A,b)$

我的问题是当平稳迭代方法不作为单位矩阵时，例如 Jacobi 迭代，，那么第 k 个解为如下：在这种情况下，是否仍然属于第 k 个子空间？如果是这样，那么 Jacobi like Richardson 迭代只会产生一个位于第 k 个 Krylov 子空间中的解，并且不会最小化该子空间中的某些函数。因此，它的性能仍然比 gmres 差。如果不是，那么（从 Jacobi 迭代中）获得的第 k 个解是预条件子空间 $M$

M x_{k} = N x_{k - 1} + b

$Mx_k =Nx_{k-1}+b$

M = d i a g (A)

$M = diag(A)$

x_{k} = x_{k - 1} + M^{- 1} r_{k - 1} .

$x_k = x_{k-1}+M^{-1}r_{k-1}.$

x_{k}

$x_k$

K_{k} (A, b)

$K_k(A,b)$

x_{k}

$x_k$

K_{k} (M^{- 1} A, b)

$K_k(M^{-1}A,b)$ ? 欢迎任何建议。