计算科学 - 具有涉及矩阵逆的约束的凸优化 - 吾爱随笔录

具有涉及矩阵逆的约束的凸优化

计算科学 Python 凸优化

2021-12-12 07:43:41

我有以下凸优化问题。我想问一下有没有什么有效的方法可以在 Python 中解决它？我可以使用 CVXOPT 包吗？如果有，有详细的说明吗？非常感谢。

min_{T \in [0, \infty]^{10}} \sum_{i = 1}^{10} T_{i} a_{i}

$\min_{T\in[0, \infty]^{10}}\sum_{i=1}^{10}T_ia_i$ 服从这里，和。10 和 5 只是通用常量。如果逆不存在，我们可以用伪逆代替。

x_{j}^{⊤} (\sum_{i = 1}^{10} T_{i} x_{i} x_{i}^{⊤})^{- 1} x_{j} \leq b_{j}, for all j \in [10] .

$x^{\top}_j(\sum_{i=1}^{10}T_i x_ix_i^{\top})^{-1}x_j\leq b_j, \text{for all} \ j\in[10].$

{a_{1}, \dots, a_{10}} \subset R

$\{a_1,\ldots, a_{10}\}\subset \mathbb R$

{x_{1}, \dots, x_{10}} \subset R^{5}

$\{x_1, \ldots, x_{10}\}\subset\mathbb R^5$

1个回答

是的，这可以做到，请参见下面的代码块。我正在使用 CVXPY 库，该库由斯坦福的 Boyd 小组维护，并包装了 CVXOPT 求解器（除其他外）。

假设我们已经构建了该Problem data部分的输入数据，在我刚刚运行的一个简单基准测试中，Construct the problem和部分大约需要 550 毫秒。Report solution如果我们将问题大小增加 2 倍，解决方案大约需要 3.6 秒，如果我们增加 3 倍，则需要 11.5 秒。

import cvxpy as cp
import numpy as np

# Problem data.
# m is matrix dimension, n is number of terms
m, n = 5, 10
X = np.random.randn(m, n)
b = np.abs(np.random.randn(n)) # constraint upper bounds
a = np.abs(np.random.randn(n)) # objective coefficients

# Construct the problem.
T = cp.Variable(n)
A = cp.Variable((m,m))
objective = cp.Minimize(a @ T)
constraints = [A == X @ cp.diag(T) @ X.T] + \
              [T >= 0] + \
              [cp.matrix_frac(x, A) <= bi for x, bi in zip(X.T, b)]
problem = cp.Problem(objective, constraints)

# Report solution.
result = problem.solve()
print(result)

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