计算科学 - 使用 DFT (FFT) 计算卷积 - 吾爱随笔录

我有以下卷积作为数值模拟的一部分。

T (r) = \int d^{3} r_{2} p (r_{2}) f (r_{2}) α (r - r_{2}) .

$T(r)=\int \mathrm{d}^3r_2\, p(r_2)f(r_2)\alpha(r-r_2)\, .$

我的问题是和的解析表达式确实存在，但是，我只有在傅里叶域中的 alpha(k) 形式。我计划通过以下方式进行评估： $f$ $p$ $\alpha$ $\alpha(k)$

使用numpy中的meshgrid和linspace使用的网格网格构造网格 $100\times100\times100$

ran = linspace(-1,1,N_r)
x,y,z = meshgrid(ran,ran,ran) #position space

从 x, y, z 构造傅里叶域中的分量 xf, yf, zf

xf = fftn(x)
yf = fftn(y)
zf = fftn(z)

在 numpy 中使用fftn 求的傅里叶变换 $f(r)\times p(r)$
乘以 $\alpha(k)$
在 numpy 中使用ifftn进行傅里叶逆变换。

我不太确定上述方法是否有效，实际上我未能正确验证它。我尝试使用 scipy.ndimage.convolve 将结果与傅里叶域中产品的傅里叶逆变换进行比较。我对代码所做的事情是否正确？有没有一种方法可以验证一种方法是否适用于更简单的示例？

试图验证：

我尝试了以下方法来测试该理论。似乎它不起作用。我希望结果res_1和res_2相同。我还使用函数real截断由fftn和ifftn函数产生的微小虚部。

x = linspace(-1,1,10)
xf = fftn(x)

def f(x):
    return x**2+x**3*sin(x)

def g(k):
    return k**2+k**3/(3-k**2)

g_k = g(xf)
g_x = real(ifftn(g_k))

res_1 = img_con(g_x,f(x))

res_2 = real(ifftn(g(xf)*fftn(f(x))))

print(res_1)
print(res_2)

我在做错事吗？