计算科学 - 一种快速检查矩阵是否病态并将其转换为条件良好的方法 - 吾爱随笔录

计算科学线性代数线性求解器

2021-12-18 07:48:37

我正在运行模拟，一些线性求解器正在返回病态矩阵的消息。

因此，在使用线性求解器之前，我正在寻找一种快速、易于实现的方法来检测矩阵是否病态。如果它是病态的，有什么好方法让它变得良好？

1个回答

要检测矩阵是否病态，您可以检查定义的条件数，矩阵为： $A$

k (A) = | | A | | | | A^{- 1} | |

$k(A) = ||A|| \, ||A^{-1}||$

对于范数 2，这等于奇异值的比率：

k (A) = \frac{σ_{m a x} (A)}{σ_{m i n} (A)}

$k(A) = \frac{\sigma_{max}(A)}{\sigma_{min}(A)}$

在数值上，还有其他方法可以估计。有关更多详细信息，请参阅 [1] 和 [2] 的第 15 章，您可以在其中找到不同语言的不同方法（Hager，来自 LINPACK，采样）的源代码。 $k(A)$

威胁病态系统有两种主要方式：

预处理：使用这种技术，您可以获得一个在数学上与开始情况等效的系统，但条件数更好。这些方法取决于您拥有的矩阵的结构，但您可以查看例如 [3] 的迭代方法。

正则化：在这里您可以获得启动系统的近似值，这些方法也适用于不适定问题。该系列中的技术示例如下：

有关更多详细信息和参考资料，请参见示例 [4]。

[1] Higham，Nicholas J.，数值算法的准确性和稳定性。，宾夕法尼亚州费城：暹罗。xxx, 680 页。（2002 年）。ZBL1011.65010。

[3] Saad, Yousef，稀疏线性系统的迭代方法。宾夕法尼亚州费城：SIAM 工业和应用数学学会。十八，528 页。（2003 年）。ZBL1031.65046。

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