计算科学 - 如何显示稳定性大号2L2投影？ - 吾爱随笔录

如果 $\mathcal{T}_h$ 是一个规则的和准均匀的三角剖分 $\Omega$ ，和 $V_h$ 是个 $H^1$ -符合线性有限元空间。此外，让 $P_h$ 成为 $L^2$ 投影到 $V_h\subset H^1(\Omega)$ ， IE，

(P_{h} u, v_{h}) = (u, v_{h}), \forall v_{h} \in V_{h} (1) .

$\begin{equation} (P_hu,v_h)=(u,v_h),\quad\quad \forall v_h\,\in V_h\quad\quad (1). \end{equation}$ 如何显示以下结果的稳定性

‖ P_{h} u ‖_{H^{1} (Ω)} \leq C ‖ u ‖_{H^{1} (Ω)} (2) .

$\begin{equation} \|P_hu\|_{H^1(\Omega)}\leq C\|u\|_{H^1(\Omega)}\quad\quad (2). \end{equation}$

通过选择 $v_h=P_hu$ ，我们有

‖ P_{h} u ‖_{L^{2} (Ω)}^{2} = (u, p_{h} u) \leq ‖ u ‖_{L^{2} (Ω)} ‖ P_{h} u ‖_{L^{2} (Ω)},

$\begin{equation} \|P_hu\|_{L^2(\Omega)}^2=(u,p_hu)\leq \|u\|_{L^2(\Omega)}\|P_hu\|_{L^2(\Omega)}, \end{equation}$ 这表明

‖ P_{h} u ‖_{L^{2} (Ω)} \leq ‖ u ‖_{L^{2} (Ω)} .

$\begin{equation} \|P_hu\|_{L^2(\Omega)}\leq \|u\|_{L^2(\Omega)}. \end{equation}$ 但是，如何显示结果

(2)

$(2)$ ? 任何人都可以提出一些建议吗？谢谢！