计算科学 - 近似矩阵逆的导数 - 吾爱随笔录

我将这个问题交叉发布到数学堆栈交换。请在此链接https://math.stackexchange.com/q/2952989/430980或以下找到它：

我有一个关于近似矩阵逆的导数的问题。我有一个系统，，我用以下方法近似求解（并使用迭代方法）：我想取这个过程的导数，即找到我知道如果我有一个理想的逆，我的表达式将没有波浪号，因为我会得到确切的结果：但为此，我不能从的典型假设开始，而是有

A x = b

$Ax = b$

Δ x = x - {\tilde{A}}^{- 1} b

$\Delta x = x - \tilde{A}^{-1}b$

\frac{d Δ x}{d F} = \frac{d x}{d F} - \frac{d {\tilde{A}}^{- 1}}{d F} b - {\tilde{A}}^{- 1} \frac{d b}{d F}

$\frac{d\Delta x}{dF} = \frac{dx}{dF} - \frac{d\tilde{A}^{-1}}{dF}b - \tilde{A}^{-1}\frac{db}{dF}$

\frac{d Δ x}{d F} = \frac{d x}{d F} - A^{- 1} \frac{d A}{d F} A^{- 1} b - {\tilde{A}}^{- 1} \frac{d b}{d F}

$\frac{d\Delta x}{dF} = \frac{dx}{dF} - {A}^{-1}\frac{dA}{dF}{A}^{-1}b - \tilde{A}^{-1}\frac{db}{dF}$

A A^{- 1} = I

$AA^{-1} = I$

A {\tilde{A}}^{- 1} = C \neq I

$A\tilde{A}^{-1} = C \neq I$ 有没有人对此类问题的资源或技术有任何想法？谢谢你。

编辑：为了添加一些额外的上下文，我在 CFD 求解器中使用牛顿方法，所以我的线性系统是我正在尝试来区分过程。我使用点 Jacobi 求解线性系统，并将矩阵分解为对角线和非对角线，所以它看起来像这样：

\frac{\partial R}{\partial u} Δ u = - R (u)

$\frac{\partial R}{\partial u}\Delta u= -R(u)$

D Δ u^{k + 1} = - R (u) - \frac{\partial R (u)}{\partial u} Δ u^{k}

$D \Delta u^{k+1}= -R(u) - \frac{\partial R(u) }{\partial u}\Delta u^{k}$