我正在使用紧束缚模型，并且正在尝试学习如何以数值$N(E)$

DOS 由下式给出

$$N(E) = \frac{1}{N}\sum_k \delta(E-\epsilon_k)\, ,$$

其中是色散关系 - 在 1D 中，它的形式，其中是我选择为 1 的参数。我们也可以将其写为积分，$\epsilon_k$$-2t\cos(k)$$t$

$$N(E) = \frac{1}{2\pi} \int_k \delta(E - \epsilon(k)) dk$$

我们有几种估计 DOS 的方法。我采用了两种方法，这两种方法似乎都对收敛的数值参数非常敏感。

1. 使用 Delta“函数”的洛伦兹近似，。代码是$\delta(x) \equiv \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \frac{\epsilon}{\epsilon^2 + x^2}$

   # Approximate the delta function
   def delta(x):
       return (1/pi)*(eps/(x**2 + eps**2))
   

   然后在我的k s范围内简单地计算上述总和$k$，如下所示的一维情况。

   # Use summation form of density of states for numeric calculation
   def N(E):
       D = sum([delta(E - disp_e(k1)) for k1 in ks])
       # Minimum D for every E should be pi/4 for the 1D case. Unfortunately,   it's going to 0 mostly. Why? How? 
       dos = (1/Num_sites) * D
       return dos
   

2. 将状态的 DOS 计算为系统极点处格林函数的虚部，，其中再次应该是一个小参数。这是 1D 中的函数的代码，尽管我也为 2D 和 3D 完成了它们：$N(E) =-\frac{1}{N\pi} \Im{\sum_k \frac{1}{E - \epsilon_k + i\epsilon}}$$\epsilon$

   # Try to get DOS by summing over k-points of the lattice Green's function
   def Greens(E, e_k):
       return (1/Num_sites)*(1/(E - e_k + 0.05*1.0j))
   
   def N2(E):
       D = (-1/(N*pi))*(sum([Greens(E, disp_e(k1)) for k1 in ks])).imag
       return D
   

最后，谈谈我的问题。我花了很长时间（10 个小时）试图弄清楚为什么我的代码没有收敛到一维分析解决方案，尽管增加了更多的 k 点或对能量有更精细的分辨率。

事实证明，尽管有定义，但我选择的参数太小了。的顺序上选择数字，但最终我发现仅在格林函数方法的和 0.01 之间时才显示正确的数值结果-0.05 用于 delta 函数方法。$\epsilon$$10^{-4}$$\epsilon$$\epsilon \in [0.1, 0.5]$

这是我最终得到的一维的正确解，包括解析解和数值解。这适用于 delta 函数方法的 epsilon = 0.01。

这是我将 epsilon 参数更改为更小时得到的结果。振荡在更小的ε处变成发散，我没有得到任何数值解。

我的问题是——为什么？这些定义暗示了一个小的，此外，我看不出为什么两个单独的数值方法都不会因为相同的原因而收敛。这些近似值在任何地方都有稳定性/收敛性分析吗？$\epsilon$

我想知道的原因是因为我想研究没有解析解的系统，如果我的解的质量随着所谓的任意参数而不规律地变化，我无法确定我的数值解！