您正在考虑的是Lax Equivalence Theorem。这是双重含义（当且仅当）。您可以使用泛函分析方法进行一般性证明，尽管这可能比大多数课程采用的方法更深入和“离实际方法更远”，这可能就是为什么只证明了前向暗示的原因。

总的来说，我同意 Chris Rackauckas 之前的回答。然而，更准确地说，答案取决于稳定性和收敛性的定义。

在 Stetter“常微分方程的离散化方法分析”的第 1 章中，有收敛、一致但不稳定或稳定但不收敛的方案的简单示例。它们在某种意义上是退化的，因为对空间做出了错误的选择。