计算科学 - 强制凸优化的边界和等式约束 - 吾爱随笔录

在这篇 JCP 论文中，作者通过凸优化同时为平流扩散方程实施离散最大原理和元素质量平衡。使用了最小二乘有限元法，因此问题变成了一个混合公式，其中包含通量变量和标量浓度。离散设置中的约束优化问题如下： $\boldsymbol{q}\in\mathbb{R}^{n_qdofs}$ $\boldsymbol{c}\in\mathbb{R}^{n_cdofs}$

\begin{aligned} (A) & min_{q, c} & \frac{1}{2} ⟨ c, K_{c c} c ⟩ + ⟨ c, K_{c q} q ⟩ + \frac{1}{2} ⟨ q, K_{q q} q ⟩ + ⟨ c, r_{c} ⟩ + ⟨ q, r_{q} ⟩ \\ (B) & subject to: & A_{c} c + A_{q} q = b_{f} \\ (C) & c_{min} ⪯ c ⪯ c_{max} \end{aligned}

$\begin{align} \min_{q,c} \ &\tfrac12\langle c, K_{cc}c\rangle + \langle c, K_{cq}q\rangle + \tfrac12\langle q, K_{qq}q\rangle + \langle c,r_c \rangle + \langle q,r_q\rangle\tag{A}\\ \text{subject to: } &A_c c+ A_q q = b_f\tag{B}\\ &c_{\text{min}}\preceq c\preceq c_{\text{max}} \tag{C} \end{align}$

其中（B）是元素质量平衡的等式约束，（C）是确保离散最大原则的有界约束。众所周知，简单地求解 (A) 的无约束版本既不满足 (B) 也不满足 (C)，并且作者声称使用 MATLAB 的 quadprog 函数（内点凸算法），这个有约束的优化问题可以满足这两个属性。

如果只执行（B），仍然会违反最大原则，但解决方案将是局部保守的。
如果只强制执行（C），质量平衡仍然会有误差，但解决方案将满足最大原则。
如果 (B) 和 (C) 都被强制执行，对我来说，最大原则将得到满足是有道理的，但元素方面的质量平衡是否一定会得到满足？根据我对二次规划问题的理解，约束 (B) 与拉格朗日乘数相关联，并被添加到目标泛函 (A)，因此如果我将边界应用于新的目标泛函 (A) (B)，因为我得到的目标函数值将不为零，我是否仍然会违反质量平衡 (B)？ $\lambda$ $\lambda\cdot$