问题

我有一个 PDE，我正试图用光谱方法解决。解决方案$y$总是正的，衰减为$y \propto e^{-ax}$对于大$x$. 域是$[0, \infty)$. （实际上有两个自变量，但我们现在不用担心。）

不幸的是，尽管我获得的任何数值解（使用 Galerkin 方法）似乎都具有良好的绝对精度，但对于较大的$x$由于解的动态范围大（来自指数衰减）。我想知道如何最好地提高我的解决方案的相对准确性。任何建议，将不胜感激！

示例测试问题

这不是我要解决的实际 PDE（实际上是 2d），但它说明了我遇到的困难：

解析解是$x^2/(1+e^x)$（绘制为下面的红色虚线），这始终是积极的。然而，用拉盖尔函数基组解决这个问题（重新组合，使得每个基函数都是$0$在$x = 0$) 的 20 阶产生下面的蓝色曲线，当它变小时，它会偏离解析解（甚至变为负数）。

我尝试过/考虑过的

• 我考虑过转型$y = e^{-A(x)}$然后解决$A$. 这可能会起作用，但不幸的是使方程非线性，我希望不要处理。
• 我尝试使用 Laguerre 函数作为基组，它内置了指数衰减。但这并没有真正起作用，正如您在上面看到的那样 - 解决方案仍然具有较低的相对精度$x$.
• 我打算换$y = e^{-ax} z$然后解决$z$. 我不知道$a$先验的，但可以估计。我认为这可以正常工作，但我想知道是否有我不知道的更通用的方法。