在 Boffi、Brezzi 和 Fortin 的《混合有限元方法和应用》一书中，关于为什么 Raviart-Thomas (RT) 投影仅针对中的函数定义（备注 2.5.1）进行了相当长的讨论。此外，对于 DG 方法，也有类似的投影，仅针对$H^1$$H^1.$

为了为我的问题奠定基础，我介绍了一个线性椭圆 PDE。令与为有界多面体域。假设源函数，在中，Dirichlet 边界条件和 Neumann边界条件都是具有足够规律性的函数，因此可以很好地定义以下 PDE。 $\Omega\in \mathbb{R}^d$$d\in \{2,3\}$$\sigma\colon \Omega\to \mathbb{R}$$L^2(\Omega)$$u_d\colon \partial\Omega_D\to \mathbb{R}$$\vec{g}_N\cdot\vec{\eta}\colon \partial\Omega_N \to \mathbb{R}$

我们的 PDE 是

$$\begin{align*} 0 &= \vec{q} + \vec{\nabla} u&& x\in \Omega,\\ \sigma &= \vec{\nabla} \cdot \vec{q}&& x\in \Omega,\\ u_d &= u&& x\in \partial\Omega_D,\\ \vec{g}_N\cdot \vec{n}&= \vec{q}\cdot \vec{n} && x\in \partial\Omega_N. \end{align*}$$

我们需要对数据（域、源项和边界条件）施加哪些弱限制，以便？我假设我们需要某种椭圆规律性是否正确？ $\vec{q}\in H^1(\Omega)$

参考文献表示赞赏。我有很多关于椭圆规律性的论文，但它们都处理更简单的 PDE（同质 BC、平滑边界、无 Neumann 数据等）。