计算科学 - 实现无通量边界条件反应扩散 PDE - 吾爱随笔录

实现无通量边界条件反应扩散 PDE

计算科学 pde 数值分析有限差分边界条件

2021-12-20 10:11:18

我无法弄清楚如何为这个问题实现边界条件：

\begin{aligned} \frac{\partial n}{\partial t} & = D_{n} \nabla^{2} n - \nabla \cdot (\frac{χ}{1 + α c} n \nabla c) - \nabla \cdot (p n \nabla f) \\ \frac{\partial f}{\partial t} & = β n - γ n f \\ \frac{\partial c}{\partial t} & = - η n c \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial n}{\partial t} &= D_n\nabla^2n - \nabla\cdot\left(\frac{\chi}{1+\alpha c}n\nabla c\right) - \nabla\cdot (pn\nabla f) \\ \frac{\partial f}{\partial t} &= \beta n-\gamma nf \\ \frac{\partial c}{\partial t} &= -\eta nc \end{align}$ 物理域是一个简单的正方形，

Ω = [0, 100] \times [0, 100]

$\Omega = [0,100]\times[0,100]$ 时域是

T = [0, t]

$T = [0,t]$ . 我正在研究的论文说无通量边界条件是：

[D_{n} \nabla n - (\frac{χ}{1 + α c} n \nabla c) - (p n \nabla f)] \cdot \hat{N} = 0

$\left[D_n\nabla n - \left(\frac{\chi}{1+\alpha c}n\nabla c\right) - (pn\nabla f)\right]\cdot \hat{N} = 0$ 在哪里

\hat{N}

$\hat{N}$ 是外向单位法向量。

我所做的： 我已经设置了前 3 个方程的中心差分版本（此处为 Overleaf PDF），但我不确定如何设置 $\frac{\partial n}{\partial t}$ 使用上面的 BC 在边界上。我尝试将 BC 转换为有限差分版本并使用它来取消某些术语，但我不确定这是否是解决此问题的正确方法。任何建议表示赞赏！

2个回答

有限体积的观点对于您的问题非常方便。它与有限差分没有太大区别。坚持一维，你的第一个单元格将是间隔 $[0,h]$ 然后你将解决方案存储在这个单元格的中心，比如说 $n_0$ . 那么这个单元的半离散方案将是

\frac{d n_{0}}{d t} + \frac{F_{1 / 2} - F_{- 1 / 2}}{h} + . . . = 0

$\frac{d n_0}{dt} + \frac{F_{1/2} - F_{-1/2}}{h} + ... = 0$ 从你的边界条件

F_{- 1 / 2} = 0

$F_{-1/2} = 0$ . 其他通量可以通过有限差分来计算，例如，

F_{1 / 2} = D_{n} \frac{n_{1} - n_{0}}{h} - \frac{χ n_{1 / 2}}{1 + α c_{1 / 2}} \frac{c_{1} - c_{0}}{h} - p n_{1 / 2} \frac{f_{1} - f_{0}}{h}

$F_{1/2} = D_n \frac{n_1 - n_0}{h} - \frac{\chi n_{1/2}}{1+\alpha c_{1/2}} \frac{c_1 - c_0}{h} - p n_{1/2} \frac{f_1 - f_0}{h}$ 在哪里

n_{1 / 2} = (n_{0} + n_{1}) / 2

$n_{1/2}=(n_0 + n_1)/2$ ，等等。

方程为 $f$ 和 $c$ 没有任何空间导数，因此它们不需要（实际上也不可能）任何边界条件。因此，只有 $n$ 有边界条件，这些是在你的诺伊曼类型的情况下。将您拥有的方程式重写为很方便

(\frac{χ}{1 + α c} n \nabla c) \cdot \hat{N} = [D_{n} \nabla n - (p n \nabla f)] \cdot \hat{N}

$\left(\frac{\chi}{1+\alpha c}n\nabla c\right)\cdot\hat{N} = \left[D_n\nabla n - (pn\nabla f)\right]\cdot \hat{N}$ 明确必须满足什么条件。

在有限元上下文中，其左侧的项自然地作为按部分积分的结果出现，因此处理边界条件是一件微不足道的事情，只需将边界条件中的项替换为此处的项即可。我不足以作为一个有限差分的人来说明在这种情况下如何最好地做到这一点。

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