计算科学 - 非线性方程的大规模优化 - 吾爱随笔录

我正在寻找一个大型非线性方程组的计算有效解决方案。我正在尝试最大化以下功能：

f (\vec{x}) = \sum_{i}^{N} C_{i} (x_{i} - A_{i}) x_{i}^{ϵ_{i i}} \prod_{j \neq i}^{N} x_{j}^{ϵ_{i j}}

$f(\vec{x}) = \sum_i^N C_i (x_i-A_i)x_i^{\epsilon_{ii}} \prod_{j\not = i}^N x_j^{\epsilon_{ij}}$

受约束：

C_{i} > 0 \forall i

$C_i > 0 \quad\forall\: i$

x_{i} > A_{i} > 0 \forall i

$x_i > A_i > 0 \quad\forall\: i$

ϵ_{i i} < - 1 \forall i

${\epsilon}_{ii} < -1 \quad\forall\: i$

ϵ_{i j} \geq 0 \forall i, j s.t. i \neq j

${\epsilon}_{ij} \ge 0 \quad\forall\: i,j \quad\text{s.t.}\; i \not= j$

我已经能够编写一些可以解决这个问题的求解器，但我正在努力寻找/编写一个可以扩展到（一百万）的求解器。不幸的是，矩阵是密集的。 $N=1000000$ $\epsilon_{ij}$

我尝试过的事情：

我真的很感激关于下一步调查的建议。我将开始走下去（a）手推导出雅可比和黑森矩阵并再次尝试使用 scipy.optimize 求解器或（b）试图强迫它看起来更像一个几何编程问题并使用 gpkit。我对优化很陌生，所以我很可能会遗漏一些明显的东西——请不要犹豫，指出我忽略的任何东西！

如果有帮助，我确实有可用的分布式计算资源（spark、dask、kubernetes 等）。