我只是在为线性方程组做一个预处理器$Ax = b$椭圆 PDE 的 FEM 中出现。$A$是一个具有实值条目的 spd 矩阵。我通过元素预处理器阅读了一些关于元素的内容，现在我对以下内容有疑问：

定义前置条件$P$这样$P \approx A$. 可以改为求解方程组（左预处理）：

$$\begin{equation} P^{-1}Ax = P^{-1}b \end{equation}$$

我读到有些人选择预处理器作为元素预处理器的组装。

$$\begin{equation} P =\prod\limits_{e =1}^n P_e \end{equation}$$

在哪里$P_e$为每个元素定义$e$作为

$$\begin{equation} P_e = I + diag(A_e)^{-1/2}\cdot(A_e - diag(A_e))\cdot diag(A_e)^{-1/2} \end{equation}$$

现在来计算$P^{-1}$你只需要组装所有$P_e^{-1}$.

我现在的问题是：如果我使用 Cholesky 分解将$P$这样$P = C\cdot C^T$是否与我对每个元素使用分解并随后组装一样：??

$$\begin{equation} P_e = C_e C_e^T \rightarrow C\cdot C^T = \prod\limits_{e = 1}^n C_e C_e^T \end{equation}$$

由于元素重叠，我没有这种感觉。但我不确定。

顺便说一句，我的目标是使用分解来解决

$$\begin{align} C^{-1}AC^{-T}y &= C^{-1}b \\ x &= C^{-T}y \end{align}$$