可以将大多数特定的有限差分方法写成 Petrov-Galerkin 有限元方法，并选择局部重构和求积，并且大多数有限元方法也可以被证明在代数上等效于某些有限差分方法。因此，我们应该根据我们要使用哪种分析框架、我们喜欢哪种术语、我们喜欢哪种可扩展性系统以及我们希望如何构建软件来选择一种方法。以下概括适用于实际使用中的绝大多数变体，但可以绕过许多点。

有限差分

优点

• 高效的无正交实现
• 某些方案的纵横比独立性和局部守恒（例如不可压缩流的 MAC）
• 稳健的非线性传输方法（例如 ENO/WENO）
• 一些问题的 M 矩阵
• 一些问题的离散最大值原理（例如模拟有限差分）
• 对角线（通常是单位）质量矩阵
• 廉价的节点残差允许有效的非线性多重网格 (FAS)
• 单元式 Vanka 平滑器为不可压缩流提供有效的无矩阵平滑器

缺点

• 更难实现“物理”
• 交错的网格有时很有技术性
• 在非结构化网格上高于二阶是困难的
• 没有 Galerkin 正交性，因此收敛可能更难证明
• 不是 Galerkin 方法，因此离散化和伴随不通勤（与优化和逆问题有关）
• 自伴连续统问题通常产生非对称矩阵
• 解决方案只是逐点定义的，因此在任意位置的重建不是唯一定义的
• 边界条件往往难以实现
• 不连续系数通常使方法成为一阶
• 如果物理学包括“交叉项”，模板就会增长

有限元

优点

• Galerkin 正交性（强制问题的离散解在空间中最佳解的常数范围内）
• 简单的几何灵活性
• 不连续 Galerkin 提供稳健的传输算法，非结构化网格上的任意顺序
• 稳定性的单元熵不等式独立于网格、尺寸、精度顺序和不连续解的存在，无需非线性限制器$L^2$
• 易于实现边界条件
• 可以通过选择测试空间来选择守恒陈述
• 离散化和伴随通勤（用于 Galerkin 方法）
• 泛函分析的优雅基础
• 在高阶，局部内核可以利用 FD 缺少的张量积结构
• Lobatto 求积可以使方法节能（假设一个辛时间积分器）
• 即使系数不连续，也可以保持高阶精度，只要您可以对齐边界
• XFEM 可以适应元素内部的不连续系数
• 易于处理多个 inf-sup 条件

缺点

• 许多元素在高纵横比时遇到问题
• 连续 FEM 传输有问题（SUPG 是扩散和振荡的）
• DG 通常具有相同精度的更多自由度（尽管 HDG 要好得多）
• 连续有限元法不提供廉价的节点问题，因此非线性平滑器的常数要差得多
• 组装矩阵中通常有更多的非零值
• 必须在一致的质量矩阵（一些不错的属性，但具有完全逆，因此需要每个时间步的隐式求解）和集中质量矩阵之间进行选择。

这个问题可能太宽泛，无法给出有意义的答案。大多数回答的人只会熟悉可能使用的所有类型的 FD 和 FE 离散化的一部分。请注意，FD 和 FE

• 可以在结构化或非结构化网格上实现（有关非结构化网格上 FD 方法的一个示例，请参见本文）
• 可以扩展到任意高的精度（在很多方面！）
• 可用于在空间和/或时间上离散化，也许可以组合使用
• 使用局部或全局基函数（后者导致 FD 和 FE 类型的谱方法）
• 可以基于连续或不连续的函数空间
• 可以是空间显式或隐式的
• 可以是时间上显式或隐式的

你明白了。当然，在特定学科中，人们普遍实现和使用的 FD 和 FE 方法可能具有非常不同的特点。但这通常不是由于两种离散化方法的任何固有限制。

对于任意高阶的FD方案：高阶FD方案的系数可以自动生成任意阶；例如，参见LeVeque 的书。光谱配置方法，即 FD 方法，将比任何网格间距的幂收敛得更快；例如，参见Trefethen 的书。

几个很好的回复已经说明了有限元方法的优点是灵活和强大，在这里我将给出 FEM 的另一个优点，从 Sobolev 空间和微分几何的角度来看，是有限元空间继承物理连续性条件的可能性真正解决方案所在的 Sobolev 空间。

例如平面弹性的Raviart-Thomas面元，扩散的混合法；用于计算电磁学的 Nédélec 边缘元件。

通常是 PDE 的解，它是一个微分$k$-形式位于“能量$L^2$-可积”空间：

$$H\Lambda^k = \{\omega \in \Lambda^k: \omega \in L^2(\Lambda^k), \mathrm{d} \omega \in L^2(\Lambda^k)\}$$ 在哪里$\mathrm{d}$是外导数，我们可以围绕这个空间构建 de Rham 上同调，这意味着我们可以在 3D 空间中构建一个精确的 de Rham 序列，如下所示：

$$\mathbb{R}^3 \xrightarrow{id}\, H(\mathbf{grad},\Omega) \xrightarrow{\nabla}\, H(\mathbf{curl},\Omega) \xrightarrow{\nabla \times}\,H(\mathrm{div},\Omega) \xrightarrow{\nabla \cdot}\, L^2(\Omega)$$

算子的范围是下一个算子的零空间，这有很多很好的性质，如果我们可以建立一个有限元空间来继承这个德拉姆精确序列，那么基于这个有限元空间的伽辽金方法将是稳定的，将收敛到真正的解决方案。并且我们可以简单地通过de Rham序列的交换图得到插值算子的稳定性和逼近性，并且我们可以建立基于该序列的后验误差估计和自适应网格细化过程。

有关这方面的更多信息，请参阅 Douglas Arnold 在 Acta Numerica 中的文章：“ Finite element external calculus,homological techniques, and applications ”以及简要介绍该想法的幻灯片

有限元 (FE) 的优点：

• 变分法（例如，对于薛定谔方程，能量总是随着“p”的增加而下降，这对于 FD 不成立）
• 高阶准确（p=50 以上）
• 一旦实施，很容易在“p”和“h”中进行系统收敛（而不是为每个订单使用特殊的 FD 方案）

有限差分 (FD) 的优点：

• 更容易实现较低的订单
• 可能比 FE 更快，但精度较低

有时人们说“有限差分”是指像 Runge-Kutta 或 Adams 方法这样的 ODE 积分器。在这种情况下，FD还有另一个优势：

• 可以直接求解非线性 ODE

而有限元法需要一些非线性迭代，如牛顿法。