我必须找到向量在大小为的矩阵上的正交投影。$b$$A$$m \times n$

在我的应用程序中，我没有计算 QR 分解的奢侈。我所拥有的只是为我提供具有最小范数的最小二乘解决方案的例程，即。当然，我可以使用矩阵乘法。有两种方法可以获得，或。${A^\dagger b}$$\mbox{proj}_{A}(b)$$A (A^{\dagger}b)$$(A^T)^{\dagger}(A^Tb)$

就后向稳定性而言，以下情况的更好策略是什么？

1. $m>n$且 A 为满秩。
2. $m>n$且 A 不是满秩。
3. $n>m$且 A 不是满秩。
4. $n=1$。

对于最后一部分，这表明由于解具有外积，因此不存在后向稳定算法。不过，我并不相信，因为我们从未明确计算过外积。